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Inéquations variationnelles stochastiques et applications aux vibrations de structures mécaniques
Mertz L.
Thèses. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI (02/12/2011), Alain Bensoussan et Olivier Pironneau (Dir.)
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Laurent Mertz (, http://www.ann.jussieu.fr/~mertz/)1
1:  LJLL - Laboratoire Jacques-Louis Lions
http://www.ann.jussieu.fr
CNRS : UMR7598 – Université Pierre et Marie Curie (UPMC) - Paris VI – Université Paris VII - Paris Diderot – INRIA
B.C. 187 75252 Paris Cedex 05
France
Inéquations variationnelles stochastiques et applications aux vibrations de structures mécaniques
Stochastic Variational Inequalities and Applications to Random Vibrations and Mechanical Structures
2011-12-02
Cette thèse traite des inéquations variationnelles stochastiques et de leurs applications aux vibrations de structures mécaniques. On considère d'abord un algorithme numérique déterministe pour obtenir le régime stationnaire d'une inéquation variationnelle stochastique modélisant un oscillateur élasto-plastique excité par un bruit blanc. Une famille de solutions d'équations aux dérivées partielles définissant la mesure invariante par dualité est étudiée comme alternative à la simulation probabiliste. Puis, nous présentons une nouvelle caractérisation de l'unique mesure invariante. Dans ce contexte, nous montrons une relation liant des problèmes non-locaux et des problèmes locaux en introduisant la définition des cycles courts. Dans un cadre orienté vers les applications, nous démontrons que la variance de la déformation plastique cro^it linéairement avec le temps et nous caractérisons rigoureusement le coefficient de dérive en introduisant la définition des cycles longs. Dans la suite, nous étudions un processus approché de la solution de l'inéquation comportant des sauts aux instants de transition de l' état plastique vers l' état élastique. Nous prouvons que la solution approchée converge sur tout intervalle de temps ni vers la solution de l'inéquation, lorsque la taille du saut tend vers 0. Ensuite, nous défi nissons une inéquation variationnelle stochastique pour modéliser un oscillateur élasto-plastique excité par un bruit blanc filtré. Nous prouvons la propriété ergodique du processus sous-jacent et nous caractérisons sa mesure invariante. Nous étendons la méthode de A.Bensoussan et J.Turi avec une difficulté supplémentaire due à l'accroissement de la dimension. Finalement, dans un chapitre orienté vers l'expérimentation numérique, nous mettons en évidence par les simulations probabilistes le phénomène de phases micro-élastiques. Leur impact concerne des grandeurs utiles a l'ingénieur comme la fréquence des déformations plastiques. Un critère empirique qui peut ^etre utile à l'ingénieur est fourni afin de ne pas prendre en compte les phases micro-élastiques et ainsi évaluer d'une façon réaliste, à partir de la mesure invariante, les statistiques de la déformation plastique d'un oscillateur élasto-plastique excité par un bruit blanc.
This work is devoted to stochastic variational inequalities and their applications to random vibrations of mechanical structures. First, an effi cient method for obtaining numerical solutions of a stochastic variational inequality modeling an elasto-plastic oscillator with noise is considered. Since Monte Carlo simulations for the underlying stochastic process are too slow, as an alternative, approximate solutions of the partial di fferential equation de fining the invariant measure of the process are studied. Next, we present a new characterization of the invariant measure. The key finding is the connection between nonlocal partial di fferential equations and local partial di fferential equations which can be interpreted with short cycles of the Markov process solution of the stochastic variational inequality. For engineering applications, we prove that plastic deformation for an elasto-perfectly-plastic oscillator has a variance which increases linearly with time and we characterize the corresponding drift coe cient by de ning long cycles behavior of the Markov process solution of the stochastic variational inequality. A major advantage of stochastic variational inequality is to overcome the need to describe the trajectory by phases (elastic or plastic). This is useful, since the sequence of phases cannot be characterized easily. However, it remains important to have informations on these phases. In order to reconcile these contradictory issues, we introduce an approximation of stochastic variational inequalities by imposing arti cial small jumps between phases allowing a clear separation of the phases. We prove that the approximate solution converges on any fi nite time interval, when the size of jump tends to 0. Then to study a more general case, a stochastic variational inequality is proposed to model an elasto-plastic oscillator excited by a filtered white noise. We prove the ergodic property of the process and characterize the corresponding invariant measure. This extends Bensoussan- Turi's method with a signi cant additional diffi culty of increasing the dimension. Finally, in a last chapter oriented to numerical experiments, we exhibit by probabilistic simulations the phenomenon of micro-elastic phases. The main di culty related to micro-elastic phasing is that they interfere on quantities of interest such that frequency of plastic deformations. An interesting criterion is provided which could be useful in engineering problems to discard micro-elastic phases and to evaluate statistics of plastic deformations of an elasto-plastic oscillator white noise excited.
Mathematics/Analysis of PDEs
Mathematics/Probability
Computer Science/Numerical Analysis
Engineering Sciences/Mechanics/Vibrations
Physics/Mechanics/Vibrations

Université Pierre et Marie Curie - Paris VI
Mathématiques et STIC
mathématiques appliquées
English

Alain Bensoussan et Olivier Pironneau
Alain Bensoussan (directeur)
Pierre Bernard (examinateur)
George Papanicolaou (examinateur)
Olivier Pironneau (directeur)
Denis Talay (rapporteur)

inéquations variationnelles stochastiques – équations aux dérivées partielles avec des conditions non-locales – vibrations aléatoires – diffusion ergodique.
stochastic variational inequalities – partial differential equations with nonlocal conditions – random vibrations – ergodic diffusions.