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Université Pierre et Marie Curie - Paris VI (06/12/2001), Cazenave Thierry (Dir.)
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Quelques propriétés qualitatives de l'équation de Schrödinger non-linéaire
Pascal Bégout1

Les travaux présentés dans cette thèse concerne l'équation de Schrödinger avec puissance simple comme non-linéarité. Dans une première partie, on étudie des solutions globales en temps possédant un état de diffusion dans un espace de Sobolev à poids. Puisque le groupe de Schrödinger n'est pas une isométrie sur cet espace, on cherche à savoir si de telles solutions convergent vers leur état de diffusion. La réciproque est également étudiée. Dans une deuxième partie, on montre que la vitesse maximale de décroissance en temps des solutions est celle des solutions du problème linéaire associé. Une troisième partie traite de conditions suffisantes et de conditions nécessaires pour l'existence globale en temps de solutions dans le cas surcritique. Dans une quatrième partie, on simplifie la démonstration du résultat de Kenji Nakanishi qui montre que dans le cas dissipatif et sous des hypothèses adéquates sur la non-linéarité, on peut établir une théorie de la diffusion dans l'espace d'énergie en petite dimension d'espace. La simplification consiste à ne pas utiliser les espaces de Besov, puisque le résultat se produit dans l'espace d'énergie. Dans une dernière partie, on regarde la régularité de certaines solutions auto-similaires.
1:  LJLL - Laboratoire Jacques-Louis Lions
Equation non-linéaire de Schrödinger – Comportement asymptotique – Existence globale – Régularité – Solutions auto-similaires
http://begout.pascal.neuf.fr/

Some qualitative properties of the nonlinear Schrödinger
The work presented in this thesis deals about the Schrödinger equation with single power of nonlinearity. In a first part, we study global solutions which have a scattering state in a weighted Sobolev space. Since the free operator of Schrödinger is not an isometry on this space, we would like to know if such solutions converge to their scattering state. The converse is also studied. In a second part, we show that the solutions decay at most as those of the linear Schrödinger equation. A third part gives necessary conditions and sufficient conditions to obtain global solutions in the supercritical case. In a fourth part, we simplify the result of Kenji Nakanishi. He shows in the dissipative case that under suitable conditions on the nonlinearity, each solution with finite energy has a scattering state. In this part, we give a proof which does not require the Besov spaces, unlike the original proof, since the result occurs in the energy space. A last part deals about the regularity of some self-similar solutions.
Nonlinear Schrödinger equation – Asymptotic behavior – Global existence – Smoothness – Selfsimilar solutions