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Université Pierre et Marie Curie - Paris VI (23/04/2003), AUBIN Thierry (Dir.)
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Equations aux dérivées partielles elliptiques du quatrième ordre avec exposants critiques de Sobolev sur les variétés riemanniennes avec et sans bord
Daniela CARAFFA BERNARD1

L'objet de cette thèse est l'étude, sur les variétés riemanniennes compactes $(V_n,g)$ de dimension $n>4$, de l'équation aux dérivées partielles elliptique de quatrième ordre $$(E)\; \Delta^2u+\nabla [a(x)\nabla u] +h(x)u= f(x)|u|^(N-2)u$$ où $a$, $h$, $f$ sont fonction $C^\infty $, avec $f(x)$ fonction constante ou partout positive et $N=(2n\over((n-4)))$ est l'exposant critique. En utilisant la méthode variationnelle on prouve dans le théorème principal que l'équation $(E)$ admet une solution $C^((5,\alpha))(V)$ $0<\alpha<1$ non nulle si une certaine condition qui dépend de la meilleure constante dans les inclusion de Sobolev ($H_2\subset L_(2n\over(n-4))$) est satisfaite. De plus on montre que si $a$ et $h$ sont des fonctions constantes bien précisées la solution de l'équation est positive et $C^\infty(V)$. Lorsque $n\geq 6$, on donne aussi des applications du théorème principal. Dans la dernière partie de cette thèse sur une variété riemannienne compacte à bord de dimension $n$, $(\overline(W)_n,g )$ nous nous intéressons au problème : $$ (P_N) \; \left\lbrace \begin(array)(c) \Delta^2 v+\nabla [a(x)\nabla u] +h(x) v= f(x)|v |^(N-2)v \; \hbox(sur)\; W \\ \Delta v =\delta \, , \, v = \eta \;\hbox(sur) \;\partial W \end(array)\right.$$ avec $\delta$,$\eta$,$f$ fonctions $C^\infty (\overline (W))$ avec $f(x)$ fonction partout positive et on démontre l'existence d'une solution non triviale pour le problème $(P_N)$.
1:  Analyse Complexe
EDP elliptiques de quatrième ordre – Problèmes elliptiques non linéaires du quatrième ordre – Elliptic partial differential equations – Elliptic PDE – Non linear elliptic problems of fourth order – Problèmes critiques non linéaires – Non linear critical problems – Quatrième ordre – Fourth order – Variétés riemanniennes compactes – Compact riemannian manifolds – Exposant critique de Sobolev – Critical Sobolev exponent

The subject of this thesis consists in the study, on compact riemmannian manifold $(V_n,g)$ of dimension $n>4$, of elliptic partial differential equation $$(E)\; \Delta^2u+\nabla [a(x)\nabla u] +h(x)u= f(x)|u|^(N-2)u$$ in which $a$,$h$,$f$ are $C^\infty $ fonctions with $f(x)$ constant fonction or everywhere strictly positive and $N=(2n\over((n-4)))$ is the critical exponent.Using the variational method, we prove on the main theorem that the equation (E) has non zero solution $C^((5,\alpha))(V)$ $0<\alpha<1$ if a certain condition which depends on the best constant in the Sobolev inequality ($H_2\subset L_(2n\over(n-4))$) is respected. Moreover, we prove that if $a$ and $h$ are accurate constant fonctions, the solution of the equation is positive and $C^\infty $. When $n\geq 6$, we present some applications of main theorem. In the last part we work on a compact riemannian manifold with boundary of dimension n, $(\overline(W)_n,g )$, we study the problem $$ (P_N) \; \left\lbrace \begin(array)(c) \Delta^2 v+\nabla [a(x)\nabla u] +h(x) v= f(x)|v |^(N-2)v \; \hbox(on)\; W \\ \Delta v =\delta \, , \, v = \eta \;\hbox(on) \;\partial W \end(array)\right.$$ in which $\delta$, $\eta$ and $f$ are $C^\infty (\overline (W))$ fonctions with $f(x)$ everywhere strictly positive and we prove the existence of the solution for the problem $P_N$.