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Université Pierre et Marie Curie - Paris VI (20/06/2012), Pierre Schapira (Dir.)
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Sur la catégorie triangulée des DQ-modules
Francois Petit1

Cette thèse est consacrée à l'étude des modules de quantification par déformation ou DQ-modules. Elle explore dans quelle mesure certains théorèmes de géométrie algébrique s'étendent aux DQ-modules et plus généralement à un cadre non-commutatif. Nous établissons un théorème de type Riemann-Roch pour les algèbres différentielles graduées propres et homologiquement lisses, généralisant ainsi un résultat de Shklyarov. Nous donnons un analogue non-commutatif d'un résultat de Bondal et Van den Bergh affirmant que la catégorie dérivée des faisceaux quasi-cohérents d'une variété algébrique est engendrée par un générateur compact. Il apparaît que la notion d'objet quasi-cohérent n'est pas adaptée à la théorie des DQ-modules. Nous introduisons donc, en nous appuyant sur la notion de complétude cohomologique de Kashiwara-Schapira, la notion d'objet cohomologiquement complet à gradué quasi-cohérent. Nous montrons que ces objets forment une catégorie triangulée, engendrée par un générateur compact et nous en caractérisons les objets compacts. Nous adaptons au cas des DQ-modules une formule due à Lunts, qui calcule la trace d'un noyau cohérent agissant sur l'homologie de Hochschild d'un DQ-algébroïde. La méthode de Lunts ne semble pas s'appliquer aux DQ-modules. Nous développons donc un formalisme permettant d'obtenir un théorème similaire à celui de Lunts puis nous l'appliquons aux DQ-modules. Enfin, nous nous intéressons, dans le cadre des DQ-modules, aux transformations intégrales pour lesquelles nous donnons des résultats d'adjonction et démontrons une condition nécessaire et suffisante pour qu'une telle transformation soit une équivalence.
1:  IMJ - Institut de Mathématiques de Jussieu
Homologie de Hochschild – DQ-algébroïde – DQ-module – catégories triangulée – générateur compact – algèbre différentielle graduée

On the triangulated category of DQ-modules
The main subject of this thesis is the study of deformation quantization modules or DQ-modules. This thesis investigates to which extent some theorems of algebraic geometry can be generalized to DQ-modules. Hence, to a non-commutative setting. We established a Riemann-Roch type theorem for proper and homologically smooth differential graded algebras which slightly generalizes a result of Shklyarov. We give a non-commutative analogue of a result of Bondal and Van den Berg asserting that on a quasi-compact and quasi-separated scheme, the derived category of quasi-coherent sheaves is generated by a single compact generator. It becomes clear that the notion of a quasi-coherent object is not suitable for the theory of DQ-modules. Therefore, relying on the concept of cohomological completenessss of Kashiwara-Schapira, we introduce the notion of cohomologically complete and graded quasi-coherent objects. We show that these objects form a cocomplete triangulated category generated by a single compact generator and we characterize its compact objects. We adapt to the case of DQ-modules a formula of Lunts which calculates the trace of a coherent kernel acting on the Hochschild homology of a DQ-algebroid stack. The method of Lunts does not seems to work directly in the framework of DQ-modules. We build an abstract formalism in which we obtain a formula similar to Lunts' and we apply this formalism to DQ-modules. Finally, we study integral transforms in the framework of DQ-modules. In this setting, we recover some adjunction results which are classical in the commutative case. We also give a sufficient and necessary condition for such a transformation to be an equivalence.
Hochschild homology – DQ-algebroid – DQ-module – triangulated category – compact generator – differential graded algebra