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Université Pierre et Marie Curie - Paris VI (30/06/2011), Jean Bertoin (Dir.)
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Trois applications de la fragmentation et du calcul poissonien à la combinatoire
Adrien Joseph1

Cette thèse est consacrée à l'étude de trois modèles combinatoires intervenant dans la théorie des probabilités. Nous nous intéressons tout d'abord à la hauteur d'arbres de fragmentation. À mesure de dislocation fixée, deux régimes bien différents peuvent apparaître selon la capacité des sommets : au-delà d'une capacité critique, les hauteurs ont même asymptotique tandis que, en deçà de ce paramètre critique, les arbres sont de plus en plus hauts à mesure que le seuil de rupture diminue. Nous présentons ensuite des résultats obtenus avec Nicolas Curien sur le quadtree. Nous explicitons les comportements asymptotiques des coûts moyens des requêtes partielles. La théorie des fragmentations joue encore un rôle clé. Nous étudions enfin les grands graphes aléatoires, critiques pour le modèle de configuration. Sous certaines hypothèses, nous prouvons que, correctement remises à l'échelle, les suites des tailles des composantes connexes de ces graphes convergent en un certain sens vers une suite aléatoire non triviale que nous caractérisons. La situation est bien différente selon que la loi des degrés d'un sommet a un moment d'ordre 3 fini ou est une loi de puissance d'exposant compris entre 3 et 4.
1:  LPMA - Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires
arbres de fragmentation – quadtree – graphes aléatoires critiques – processus de fragmentation – calcul poissonien – processus à accroissements indépendants

Three applications of fragmentation and Poisson calculus to combinatorics
This PhD thesis is devoted to the study of three combinatorial models occurring in probability theory. We are first interested in the heights of fragmentation trees. When the dislocation measure is fixed, two different regimes appear depending on the vertex capacity: above a critical capacity the heights of the trees have the same asymptotics whereas below that critical parameter the trees get significantly higher as long as the rupture threshold decreases. We then present results obtained with Nicolas Curien on the quadtree. We explicit the asymptotic behaviors of the mean costs of the partial match queries. Here again, fragmentation theory plays a key role. Finally, we study large random graphs, critical for the configuration model. We prove that, under some assumptions, the sequences of the component sizes of those graphs, once properly rescaled, converge in a certain sense to a non-trivial random sequence that is caracterized. The situation is very different depending on whether the degree distribution has finite third moment or is a power law distribution with exponent between 3 and 4.
fragmentation trees – quadtree – critical random graphs – fragmentation processes – Poisson calculus – processes with independent increments