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Université Pierre et Marie Curie - Paris VI (01/12/2010), Zhan SHI (Dir.)
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Marches aléatoires avec branchement et absorption
Bruno Jaffuel1

Nous étudions des marches aléatoires branchantes unidimensionnelles, où une barrière absorbante tue avant qu'ils ne se reproduisent les individus qui la franchissent. Par des méthodes probabilistes, nous obtenons des résultats qui fournissent des informations sur les trajectoires des marches branchantes classiques (sans barrière absorbante). Dans le cas où la barrière est fixée à l'origine, nous estimons la vitesse d'extinction dans les cas critique et sous-critique. Nous affinons ensuite l'étude du cas critique en considérant une barrière du second ordre dont la position est proportionnelle à la puissance 1/3 de la génération. Nous déterminons la valeur limite de la position de la barrière séparant la survie avec probabilité positive de l'extinction presque sûre. Dans le cas d'extinction nous évaluons la probabilité de survie et la queue de distribution de la population totale. Dans la dernière partie de cette thèse, nous nous plaçons dans un cadre un peu différent où la position de la barrière dépend du nombre de générations considérées. Nous obtenons un résultat de déviations modérées sur le déplacement minimal de la marche branchante qui fait apparaître différents régimes, en fonction de la queue de distribution de la loi des déplacements.
1:  LPMA - Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires
marche aléatoire branchante – absorption – probabilité de survie

Branching random walk with absorption
We study unidimensional branching random walk with an absorbing barrier that kills the individuals that cross it before they reproduce. We use probabilistic methods and obtain results that provide information on the trajectories of branching random walks without absorption. In the case of a barrier set at the origin, we estimate the extinction rate in the critical and subcritical cases. Then we refine the study of the critical case by considering a second order barrier. We determine the relevant order of the position of this barrier, which is proportional to the generation to the power 1/3, and the boundary parameter which separates the survival and the extinction cases. In the extinction case, we also estimate the survival probability and the tail of the distribution of the total progeny. The setup of the last part of this thesis is a bit different since the position of the barrier depends on the number of generation we consider. We obtain a moderate deviation result for the consistent minimal displacement of the branching random walk, which presents various regimes depending on the tail of distribution of the law of the displacements.
branching random walk – absorption – survival probability