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Fiche concise Thèses
Ondes internes en océanographie et cristaux photoniques : une approche mathématique
Duchêne V.
PhD thesis. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI (2011-05-31), David Lannes (Dir.)
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Vincent Duchêne1
1 :  DMA - Département de Mathématiques et Applications
http://www.dma.ens.fr/
CNRS : UMR8553 – École normale supérieure [ENS] - Paris
France
Ondes internes en océanographie et cristaux photoniques : une approche mathématique
Internal waves in Oceanography, and photonic crystals: a Mathematical approach
31/05/2011
Ce mémoire est composé de deux parties indépendantes. Si les deux sujets traités sont de nature différente, l'étude asymptotique du problème est à chaque fois au centre de la réflexion. Dans la première partie, nous nous intéressons au comportement d'un système composé de deux fluides non miscibles, soumis à la seule force de gravité. Un tel système est utilisé en océanographie, afin de modéliser une étendue d'eau de densité variable. On commence par écrire sous forme agréable les équations d'évolution gouvernant le système. Ensuite, on développe une panoplie de modèles asymptotiques, dans les régimes d'eau peu profonde - où l'on suppose que la profondeur des couches de fluide est petite devant la longueur d'onde caractéristique à l'interface - et d'ondes longues - où l'on ajoute une hypothèse de petitesse des déformations à la surface et à l'interface. Ces modèles sont rigoureusement justifiés, par des résultats de cohérence ou de convergence. Finalement, on s'intéresse particulièrement au phénomène d'eaux mortes, qui se manifeste par une forte résistance à l'avancement subie par un corps naviguant dans des eaux stratifiées. Cette résistance est une conséquence de l'énergie dépensée par le corps pour générer une onde à l'interface entre les deux couches de fluide. Là encore, des modèles asymptotiques sont construits, justifiés rigoureusement et simulés numériquement. Une telle étude nous permet de prédire dans quelles situations le phénomène d'eaux mortes se manifeste. La deuxième partie est dédiée à l'étude de la propagation des ondes dans un milieu non-homogène. La motivation de cette étude se situe dans les cristaux photoniques, dont les propriétés de structure se répercutent sur la propagation des rayons lumineux. Plus particulièrement, nous nous intéressons à l'influence de la présence de défauts dans le matériau, modélisés par des singularités et/ou des discontinuités dans la microstructure. On montre que ces interfaces ont un effet prédominant sur les propriétés asymptotiques du matériau - notamment le coefficient de transmission - lorsque la longueur caractéristique de la microstructure tend vers zéro.
Two distinctive topics are investigated in this dissertation. However, we focus each time on the asymptotic study of the system. The first part deals with the behavior of a flow, constituted of two immiscible, homogeneous fluids under the only influence of gravity. Such a system is widely used in oceanography, as a model for density-stratified fluids. First, we introduce the governing equations of our problem. Then, we construct several asymptotic models, in different regimes. The regimes at stake are the shallow water regime (where the depth of the fluids is assumed to be small when compared with the internal wavelength), and the long wave regime (with the additional smallness assumptions of small deformations at the surface and at the interface). Each of the models is rigorously justified, thanks to a consistency, or a convergence result. Finally, we deal with the so-called dead water phenomenon, which occurs when a ship sails in a stratified fluid, and experiences an important drag due to waves below the surface. Again, we construct, justify, and produce numerical simulations of asymptotic models for this problem. The provided analysis allows to predict the behavior of the flow, and in which situations the dead-water effect occurs. The second part is dedicated to the wave propagation in inhomogeneous media, having in mind the applications of photonic crystals. The structure of these materials allow them to shape the flow of light. In particular, we study the effects of the presence of defects in the structure, modeled by singularities, or discontinuities in the microstructure. The effect of such interfaces is predominant in the asymptotic behavior of scattering quantities, such as the transmission coefficient, when the size of the microstructure vanishes.
Mathématiques

Université Pierre et Marie Curie - Paris VI
Français

David Lannes
Didier BRESCH: Rapporteur
Stéphane LABBÉ: Rapporteur
David LANNES: Directeur de thèse
Jean-Michel ROQUEJOFFRE: Président du Jury
Laure SAINT-RAYMOND Examinateur
Nikolay TZVETKOV Examinateur

ondes de gravité – ondes internes – modèles asymptotiques – eaux mortes – opérateur de Schrödinger – théorie de diffusion – effets d'interface – homogénéisation
gravity waves – internal waves – asymptotic models – dead water – Schrödinger operator – scattering theory – interface effects – homogenization.