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Fiche détaillée Thèses
Université Pierre et Marie Curie - Paris VI (06/04/2011), David Holcman et Marc Yor (Dir.)
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Nombres de tours de certains processus stochastiques plans et applications à la rotation d'un polymère
Stavros Vakeroudis1, 2, 3

Dans cette thèse de Doctorat, on étudie dans un premier temps les processus d'Ornstein-Uhlenbeck à valeurs complexes (Zt = Xt + iYt, t ≥ 0), où (Xt, t ≥ 0) et (Yt, t ≥ 0) sont ses coordonnées cartésiennes. En prenant le paramètre du processus d'Ornstein-Uhlenbeck égal à 0, on discute, en particulier, le cas du mouvement brownien plan. Plus précisément, on étudie la distribution de certains temps d'atteinte associés aux nombres de tours autour d'un point fixé. Pour obtenir des résultats analytiques, on utilise et on étend l'identité de Bougerol. Cette identité dit que, pour un mouvement brownien réel Nous développons quelques identités en loi concernant les processus d'Ornstein-Uhlenbeck à valeurs complexes, qui sont équivalentes à l'identité de Bougerol. Ces identités nous permettent de caractériser les lois de temps d'atteinte Tc ≡ inf{t : θt = c}, (c > 0) du processus continu des nombres de tours θt, t ≥ 0 associé au processus d'Ornstein-Uhlenbeck à valeurs complexes Z. De plus, on étudie la distribution du temps aléatoire T−d,c ≡ inf{t : θt= −d ou c}, (c, d > 0) et particulièrement de T−c,c ≡ inf{t : θt=−c, c}, (c > 0). Une étude approfondie de l'identité de Bougerol montre que 1/Au(β), où Au(β) est l'horloge qui intervient dans l'identité de Bougerol, considéré sous une mesure appropriée, changée à partir de la mesure de Wiener, est infiniment divisible. En utilisant les résultats précédents, on estime le temps de rotation moyen, noté TRM. Ce dernier est la moyenne du premier temps pour qu'un polymère plan modélisé comme une collection de n cordes paramétrées par un angle brownien fasse un tour autour d'un autre point (winding). On est ainsi conduit à étudier une somme d'exponentielles i.i.d. avec un mouvement brownien réél en argument. On montre que la position finale satisfait à une nouvelle équation stochastique, avec un drift non-linéaire. Finalement, on obtient une formule asymptotique pour le TRM. Le terme dominant dépend de √n et, notablement, il dépend aussi faiblement de la configuration initiale moyenne. Nos résultats analytiques sont confirmés par des simulations browniennes.
1 :  LPMA - Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires
2 :  ENS Paris - Ecole Normale Supérieure de Paris
3 :  MODAL'X - Modélisation aléatoire de Paris X
Nombres de tours – mouvement brownien plan – processus d'ornstein-uhlenbeck – identité de Bougerol – représentation en skew-product – théorème de Spitzer – infinie divisibilité – rotation d'un polymère plan

Windings of some planar Stochastic Processes and Applications to the rotation of a polymer
In this PhD thesis, we first study the (planar) complex valued Ornstein-Uhlenbeck processes (Zt = Xt + iYt, t ≥ 0), where (Xt, t ≥ 0) and (Yt, t ≥ 0) denote its cartesian coordinates. Taking the Ornstein-Uhlenbeck parameter equal to 0 allows to discuss in particular the planar Brownian motion case. More precisely, we study the distribution of several first hitting times related to the winding process around a fixed point. To obtain analytical results, we use and extend Bougerol's identity. We develop some identities in law in terms of (planar) complex valued Ornstein-Uhlenbeck processes, which are equivalent to Bougerol's identity. This allows us to characterize the laws of the hitting times Tc ≡ inf{t : θt = c}, (c > 0) of the continuous winding processes θt, t ≥ 0 associated with our complex Ornstein-Uhlenbeck process. Moreover, we investigate the distribution of the random time T−d,c ≡ inf{t : θt = −d or c}, (c, d > 0) and, more specifically of T−c,c ≡ inf{t : θt = −c or c}, (c > 0). We investigate further Bougerol's identity, and we show that 1/Au(β), where Au(β) denotes the new clock in Bougerol's identity, considered after a suitable measure change from Wiener measure, is infinitely divisible. Using the previous results, we estimate the mean rotation time (MRT) which is the mean of the first time for a planar polymer, modeled as a collection of n rods parameterized by a Brownian angle, to wind around a point. We are led to study the sum of i.i.d. exponentials with a one dimensional Brownian motion in the argument. We find that the free end of the polymer satisfies a novel stochastic equation with a nonlinear time function. Finally, we obtain an asymptotic formula for the MRT, and the leading order term depends on √n and, interestingly, it also depends weakly upon the mean initial configuration. Our analytical results are confirmed by Brownian simulations.
Windings – planar Brownian motion – Ornstein-Uhlenbeck processes – Bougerol's identity – skew-product representation – Spitzer's theorem – infinite divisibility – rotation of a planar polymer