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Université Pierre et Marie Curie - Paris VI Ecole Normale Supérieure de Paris - ENS Paris (04/07/2011), François Baccelli (Dir.)
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Quelques conséquences de la convergence locale faible pour les graphes aléatoires
Justin Salez1

Dans la limite "diluée" où les nombres d'arêtes et de sommets divergent de manière comparable, il est naturel d'espérer que divers invariants classiques en théorie des graphes seront essentiellement déterminés par la seule "géométrie locale" du graphe -- c'est à dire, informellement, par l'aspect d'une boule de petit rayon autour d'un "sommet typique". Cette heuristique a pour origine l'étude des systèmes de particules en physique statistique, où sous certaines conditions, les contributions microscopiques provenant de sites suffisamment éloignés peuvent être considérées comme mutuellement indépendantes dans le calcul des grandeurs macroscopiques fondamentales du système. Mathématiquement, cette précieuse absence d'intéractions à longue portée peut se décrire rigoureusement à l'aide d'une propriété topologique : la continuité de l'invariant considéré vis-à-vis de la convergence locale faible des graphes. Tout invariant pour lequel on peut établir une telle continuité admettra aussitôt une limite déterministe le long de la plupart des suites de graphes aléatoires classiques, et pourra être efficacement approximé par des algorithmes locaux et distribués, indépendamment de la taille totale du système. Dans cette thèse, nous établissons la continuité de quatre invariants de graphes qui jouent un rôle essentiel en théorie comme dans les applications : la distribution spectrale empirique, la dimension du noyau de la matrice d'adjacence, la taille d'un couplage maximum, et le polynôme énumérant certaines familles de sous-graphes couvrants. Plus précisément, nous montrons qu'il existe une unique manière localement cohérente d'étendre chacune de ces notions aux limites locales faibles de graphes finis, et que ce prolongement est continu. Pour les modèles de graphes aléatoires classiques, les équations de cohérence locale se simplifient en une équation aux distributions que nous résolvons explicitement. Cela conduit à de nouvelles formules asymptotiques, ainsi qu'à la simplification, l'unification et la généralisation de divers résultats jusqu'alors isolés.
1:  INRIA Rocquencourt - TREC
Graphes aléatoires – Convergence locale faible – Méthode de la cavité – Couplage maximum – Distribution spectrale – Invariants de graphes.
http://stat.berkeley.edu/~jsalez/thesis.pdf

Some implications of local weak convergence for sparse random graphs
In the so-called sparse regime where the numbers of edges and vertices tend to infinity in a comparable way, the asymptotic behavior of many graph invariants is expected to depend only upon local statistics. This heuristic originates from the thermodynamic study of certain disordered systems in statistical physics, where the microscopic contribution of each particle is insensitive to remote perturbations of the system. Mathematically, such a lack of long-range interactions can be formalized into a continuity statement with respect to the topology of local weak convergence of graphs. Among other consequences, continuous invariants are guaranteed to admit a deterministic limit along most of the classical sequences of sparse random graphs, and to be efficiently approximable via local distributed algorithms, regardless of the size of the global structure. In this thesis, we focus on four graph invariants that play an important role in theory and applications : the empirical spectral distribution, the kernel dimension of the adjacency matrix, the matching number, and the generating polynomial of certain classes of spanning subgraphs. Each of these notions is shown to admit a unique locally self-consistent extension to local weak limits of finite graphs, and this extension is proven to be continuous. When specialized to the classical models of sparse random graphs, the limiting system of local self-consistency equations simplifies into a single distributional equation, which we solve explicitly. This leads to new asymptotic formulae and to the simplification, unification and generalization of various results that were previously relying on model-specific arguments.
Sparse random graphs – Local weak convergence – Cavity method – Matching number – Empirical spectral distribution – Subgraph enumeration 9