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Université Pierre et Marie Curie - Paris VI (08/07/2011), Laure Saint-Raymond (Dir.)
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Contribution à l'étude mathématique des plasmas fortement magnétisés
Daniel Han-Kwan1

Cette thèse est consacrée à l'étude mathématique de certains aspects de l'équation de Vlasov-Poisson, qui constitue un modèle cinétique classique en physique des plasmas. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la justification rigoureuse d'approximations de l'équation de Vlasov-Poisson avec un champ magnétique extérieur intense, qui sont couramment utilisées, notamment lors des simulations numériques. Le but est de décrire certains régimes d'intérêt par des modèles asymptotiques, obtenus en faisant tendre un petit paramètre vers 0 (modélisant la physique du problème considéré) dans les équations originelles. Nous étudions pour commencer la limite quasineutre, c'est-à-dire la limite quand la longueur de Debye tend vers 0, pour l'équation de Vlasov-Poisson avec des électrons suivant une loi de Maxwell-Boltzmann. Dans la limite des plasmas froids, à l'aide de la méthode de l'entropie relative et de techniques de filtrage, nous montrons la convergence vers des équations hydrodynamiques compressibles telles que l'équation d'Euler isotherme. Nous nous intéressons ensuite à l'approximation "rayon de Larmor fini" en trois dimensions, qui permet de décrire le comportement turbulent d'un plasma soumis à un champ magnétique intense. Pour cette étude, qui peut en fait être interprétée comme une limite quasineutre anisotrope, nous montrons des résultats très différents selon la dynamique décrite. En effet, dans le cas de la dynamique avec des électrons sans masse, nous exhibons un effet stabilisant qui permet d'obtenir le même résultat que pour le système bidimensionnel, alors que pour la dynamique avec des ions lourds, nous mettons en évidence les conséquences d'instabilités de type multi-fluides. Dans un second temps, nous nous consacrons à l'étude mathématique du confinement d'un plasma de tokamak. Nous commençons par proposer un modèle hydrodynamique simplifié à deux températures et étudions la stabilité au sens de Lyapunov de deux états stationnaires permettant de modéliser l'équilibre du plasma. Nos résultats sont conformes à l'heuristique physique et mettent de surcroit en évidence qu'un fort gradient de température favorise la stabilité : cela pourrait fournir une explication aux modes de haut confinement (H-modes) dans les tokamaks. Pour finir, nous attaquons ce problème du point de vue de la théorie du contrôle et prouvons des résultats pour l'équation de Vlasov-Poisson en présence de champs extérieurs (typiquement un champ magnétique).
1:  DMA - Département de Mathématiques et Applications
théorie cinétique – physique des plasmas – équation de Vlasov-Poisson – limite quasineutre – limite gyrocinétique – régime rayon de Larmor fini – instabilités hydrodynamiques – contrôlabilité de l'équation de Vlasov-Poisson – lemmes de moyenne – entropie relative – méthode du retour.

Contribution to the mathematical study of strongly magnetized plasmas
This thesis is concerned with the mathematical study of some aspects of the Vlasov- Poisson equation, which is a classical kinetic model in plasma physics. First of all, we are interested in the rigorous justification of approximations of the Vlasov-Poisson equation with an external strong magnetic field, which are wildly used, in particular for numerical simulations. The aim is to describe some physically relevant regimes by asymptotic models, obtained by letting a small parameter go to 0.We begin with a study of the quasineutral limit, that is to say the limit when the Debye length vanishes, for the Vlasov-Poisson equation with electrons following a Maxwell-Boltzmann law. In the cold plasma limit, using the relative entropy method and some filtering techniques, we show the convergence towards compressible hydrodynamic equations, such as Isothermal Euler. We are then interested in the finite Larmor radius approximation in three dimensions, which allows to describe the turbulent behaviour of a plasma submitted to a strong magnetic field. For this study, which can actually be interpreted as an anisotropic quasineutral limit, we show different qualitative behaviour, depending on the dynamics we describe. Indeed, in the case of the dynamics with massless electrons, we show a stabilizing effect which allows us to obtain the same result as in the bidimensional case. In the case of the dynamics with heavy ions, we underline the consequences of multi-fluid type instabilities. In a second time, we are concerned with the mathematical study of the confinement of a tokamak plasma. We start by proposing of a simplified bi-temperature hydrodynamic model and study the stability in the sense of Lyapunov of two stationary states allowing to model the equilibrium of the plasma. Our results comply with the physical heuristics and furthermore underline that a large temperature gradient enhances stability : this could explain the high confinement modes (H-modes) in tokamaks. Finally we tackle this problem from the point of view of control theory and prove some results for the Vlasov-Poisson equation in presence of external force fields (in particular, magnetic fields).
kinetic theory – plasma physics – Vlasov-Poisson equation – quasineutral limit – gyrokinetic limit – finite Larmor radius regime – hydrodynamic instabilities – controllability of the Vlasov-Poisson equation – averaging lemmas – relative entropy – return method.