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Université Pierre et Marie Curie - Paris VI (28/09/2009), Pierre Le Doussal (Dir.)
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Evolutions de Schramm-Loewner et théories conformes;
Deux exemples de systèmes désordonnés de basse dimension
Christian Hagendorf1

La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude d'interfaces critiques bidimensionnelles par des méthodes d'évolutions de Schramm-Loewner (SLE) et de théories conformes. Nous étudions en particulier le cas de SLE(2) qui est la limite d'échelle des marches à boucles effacées. La solution explicite du problème d'enroulement sur des domaines doublement connexes est discutée. Nous établissons une généralisation de la formule de Schramm pour SLE(2) dans la géométrie doublement connexe et étendons la solution au cas de conditions mixtes Dirichlet-Neumann. L'analyse par la théorie conforme permet l'identification de l'opérateur de changement des conditions aux bords. De plus, à partir de l'étude des lignes de discontinuité du champ gaussien libre sur des domaines doublement connexes nous mettons en évidence une relation entre SLE(4) et les ponts browniens.

Le sujet de la seconde partie est l'étude de deux exemples de systèmes désordonnés de basse dimension. D'un coté nous établissons les propriétés de localisation et spectrales d'un hamiltonien aléatoire unidimensionnel qui interpole entre les cas du modèle de Halperin et le modèle supersymétrique désordonné. Un lien avec la diffusion unidimensionnelle dans un potentiel aléatoire permet d'étudier la modification de la dynamique ultra-lente de Sinai en présence d'absorbeurs. De l'autre côté nous analysons la transition vitreuse d'ARN pour des séquences aléatoires à l'aide de la théorie des champs de Lässig-Wiese-David. L'application au cas d'ARN soumis à une force extérieure conduit à la prédiction de la caractéristique force-extension pour des séquences hétérogènes. L'étude de la phase vitreuse nous amène à considérer un modèle hiérarchique combinatoire dont nous déterminons les exposants et lois d'échelle exactes ainsi que les corrections de taille finie.
1:  LPTENS - Laboratoire de Physique Théorique de l'ENS
évolutions de Schramm-Loewner – théories conformes – processus stochastiques – systèmes désordonnés – localisation d'Anderson – transition vitreuse

Schramm-Loewner evolutions and conformal field theories;
Two examples of disordered systems at low dimension
In the first part of this thesis we study of two-dimensional critical interfaces by means of Schramm-Loewner evolutions (SLEs) and conformal field theories. In particular, we study SLE(2) which corresponds to the scaling limit of loop-erased random walks. The explicit solution of the winding problem on doubly connected domains is given. Moreover we establish a generalisation of Schramm's formula for SLE(2) to the doubly connected case, and extend the solution to mixed Dirichlet-Neumann boundary conditions. Conformal field theory methods allow for an identification of the corresponding boundary-condition changing operator.
Moreover, upon studying the discontinuity lines of the Gaussian free field on doubly connected domains we point out a relation between SLE(4) and Brownian bridges.

The topic of the second part is the study of two different low-dimensional disordered systems. First, we establish spectral and localisation properties of a one-dimensional random Hamiltonian which interpolates between the well-known cases of Halperin's model and the disordered supersymmetric model. A mapping to one-dimensional diffusion in a random potential allows to study the modification of Sinai's ultra-slow dynamics in the presence of absorbers. The topic of the second part is the freezing transition of RNA with random sequences by means of the Lässig-Wiese-David field theory. We establish the force-extension characteristics for heterogeneous sequences subject to external forces. To better understand the glassy phase, we consider a combinatorial hierarchical model whose exact scaling laws and exponents, as well as finite-size properties are calculated analytically.
Schramm-Loewner evolutions – conformal field theory – stochastic processes – disordered systems – Anderson localisation – freezing transition