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Fiche détaillée Thèses
Université de Nantes (21/10/2011), Christoph Sorger et Manfred Lehn (Dir.)
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Espaces de modules de (G,h)-constellations
Tanja Becker1

Nous construisons l'espace de modules M_θ(X) des (G,h)-constellations θ-stables sur X pour un groupe réductif G qui agit sur un schéma affine X sur C et pour une fonction de Hilbert h: Irr G → N_0. Cet espace de modules est une généralisation commune du schéma de Hilbert invariant d'après Alexeev et Brion et de l'espace de modules des G-constellations θ-stables pour un groupe fini G introduit par Craw et Ishii. Notre construction d'un morphisme M_θ(X) → X//G fait de cet espace de modules un candidat pour une résolution des singularités du quotient X//G. De plus, nous déterminons le schéma de Hilbert invariant de la fibre en zéro de l'application moment d'une action de Sl_2 sur (C²)⁶. C'est un des premiers exemples d'un schéma de Hilbert invariant avec multiplicités. Ceci nous amène à décrire une façon générale de procéder pour effectuer de tels calculs. En outre, nous démontrons que notre schéma de Hilbert invariant est lisse et connexe : Cet exemple est donc une résolution des singularités de la réduction symplectique de l'action.
1 :  LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray
Topologie, Géométrie et Algèbre
Espace de modules des faisceaux – Schémas de Hilbert invariant – Résolutions des singularités – Théorie Géométrique des Invariants
http://ubm.opus.hbz-nrw.de/volltexte/2011/2919/pdf/doc.pdf

Moduli spaces of (G,h)-constellations
Given a reductive group G acting on an affine scheme X over C and a Hilbert function h: Irr G → N_0, we construct the moduli space M_θ(X) of θ-stable (G,h)-constellations on X, which is a common generalisation of the invariant Hilbert scheme after Alexeev and Brion and the moduli space of θ-stable G-constellations for finite groups G introduced by Craw and Ishii. Our construction of a morphism M_θ(X) → X//G makes this moduli space a candidate for a resolution of singularities of the quotient X//G. Furthermore, we determine the invariant Hilbert scheme of the zero fibre of the moment map of an action of Sl_2 on (C²)⁶ as one of the first examples of invariant Hilbert schemes with multiplicities. While doing this, we present a general procedure for the realisation of such calculations. We also consider questions of smoothness and connectedness and thereby show that our Hilbert scheme gives a resolution of singularities of the symplectic reduction of the action.
Moduli spaces of sheaves – Invariant Hilbert schemes – Resolutions of singularities – Geometric Invariant Theory