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Fiche détaillée Thèses
Université de Nantes (12/10/2010), Jacques Lévy-Véhel (Dir.)
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Processus multistables : Propriétés locales et estimation
Ronan Le Guével1

Nous étudions les propriétés probabilistes, trajectorielles et statistiques des processus stochastiques multistables, qui sont tangents en chaque point à un processus stable. Ils possèdent ainsi une intensité de sauts et une régularité locale qui varient au cours du temps. Nous nous intéressons dans un premier temps aux processus pouvant être définis par une moyenne mobile et possédant la propriété d'être localisables, c'est-à-dire d'être tangents en loi à un processus en chaque point. Des critères assurant la localisabilité, ainsi qu'une méthode de simulation de tels processus sont donnés. Nous proposons ensuite une nouvelle construction et des critères de localisabilité des processus multistables à l'aide d'une représentation de type Ferguson-Klass-LePage. Pour les processus obtenus, nous étudions certaines propriétés probabilistes et trajectorielles. En particulier, nous caractérisons le comportement asymptotique des accroissements des processus multistables, ainsi que leur régularité Höldérienne. Enfin, nous proposons des estimateurs de la fonction de stabilité et de la fonction de localisabilité. La consistance au sens de la convergence Lp est prouvée. Les performances des estimateurs sont illustrées sur des séries simulées suivant deux modèles : le mouvement de Lévy multistable et le mouvement linéaire multifractionnaire multistable.
1 :  LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray
Processus stables – Processus ponctuels – Processus de sauts – Représentation de Ferguson-Klass-LePage – Régularité locale – Exposant de Hölder – Théorème limite dans Lp – Estimation fonctionnelle

Multistable processes : local properties and estimation
This PhD thesis deals with some probabilistic, pathwise and statistical properties of multistable stochastic processes, which are tangent at any point to a stable process. Their intensity of jumps and their local regularity are varying with time. We first consider the processes possibly defined as a moving average which are localisable, that is they are tangent to a non-trivial process at any point. We give general conditions which ensure that the moving average is localisable and we characterize the nature of the associated tangent process. We also consider the problem of path synthesis, for which we give both theoretical results and numerical simulations. We present then a different construction of the multistable processes, based on the Ferguson-Klass-LePage series representation. We consider various particular cases of interest, including multistable Levy motion and linear multistable multifractional motion. We study then some probabilistic properties. In particular, we describe the behavior of the incremental moments and the pointwise Hölder exponent. We compute the precise value of the almost sure Hölder exponent in the case of the multistable Levy motion. Finally, we give two estimators of the stability and the localisability functions, and we prove the consistency of those two estimators. We illustrate these convergences with the Levy multistable process and the Linear Multifractional Multistable Motion.
Stable processes – Pointwise processes – Jump processes – Ferguson-Klass-LePage representation – Local regularity – Hölder exponent – Limit theorem in Lp – Functional estimation