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Université de Nantes (05/12/2011), Yann Rollin (Dir.)
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Constructions de métriques extrémales : résolutions de singularités, déformations complexes
Carl Tipler1

Le problème abordé dans cette thèse est celui de l'existence de métriques extrémales. Si (M, J, g) est une variété kahlérienne compacte, une métrique extrémale est une métrique kählérienne dont la norme L2 de la courbure scalaire est minimale pour les métriques représentant la même classe de Kähler. On propose de nouvelles constructions de métriques extrémales utilisant des méthodes perturbatives. Dans un premier temps, on montre que si (M, J, g) est une surface orbifold extrémale qui ne possède que des singularités isolées de type Hirzebruch-Jung, alors une résolution de (M, J) admet une métrique extrémale. On donne des applications de ce résultat sur l'existence de métriques extrémales sur les éclatements de surfaces réglées paraboliques. Dans une seconde partie, on etudie la stabilié des métriques extrémales sous déformations complexes. Ceci est un travail réalisé en collaboration avec Yann Rollin et Santiago Simanca. On donne un critère suffisant pour assurer la stabilité d'une métrique extrémale lors d'une déformation complexe munie d'une action holomorphe d'un groupe compact. On généralise ainsi des résultats de S.Simanca et C.Lebrun. Ceci nous permet également de retrouver un résultat de S.Donaldson, a savoir une métrique Kähler-Einstein sur une déformation de la variété de Mukai et Umemura.
1:  LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray
géométrie
métriques extrémales – résolutions de singularités – déformations complexes – métriques Kähler-Einstein – stabilité – structures paraboliques – surfaces complexes.

Constructions of extremal metrics: resolution of singularities, complex deformations.
The main subject of interest in this thesis is the existence of extremal metrics. Let (M, J, g) be a compact Kähler manifold. An extremal metric on M is a Kähler metricwhose L2 norm of the scalar curvature is minimal amongst the metrics representing the same Kähler class. New constructions of extremal metrics are explained using perturbative methods. In the first part, it is shown that if (M, J, g) is an orbisurface with isolated singularities of Hirzebruch-Jung type, then a minimal resolution of (M, J) admits extremal metrics. As an application of this result, new examples of extremal metrics are built on blow-ups of parabolic ruled surfaces. In the second part of the thesis, the stability of extremal metrics under complex deformations is studied. This is a joint work with Y.Rollin and S.Simanca. A sufficient criterion is given to ensure the existence of extremal metrics on deformations of extremal manifolds endowed with a holomorphic group action. It gives generalisation of stability results of C.Lebrun and S.Simanca. It also recovers a result of Donalsdon, that is the existence of Käler-Einstein metrics on a special deformations of the Mukai-Umemura 3-fold.
extremal metrics – resolution of singularities – complex deformations – Kähler-Einstein metrics – stability – parabolic structures – complex surfaces.