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Université de Nantes (01/07/2011), Gilles Carron (Dir.)
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Opérateurs de Schrödinger et transformée de Riesz sur les variétés complètes non-compactes
Baptiste Devyver1

Dans une première partie, on donne une condition nécessaire et suffisante à ce qu'un opérateur de Schrödinger sur une variété complète non-compacte ait un nombre fini de valeurs propres négatives. Dans une deuxième partie, on s'intéresse à la transformée de Riesz sur une classe de variétés complètes non-compactes vérifiant une inégalité de Sobolev. On montre d'abord une estimée gaussienne pour le noyau de la chaleur d'opérateurs de Schrödinger généralisés, comme par exemple le Laplacien de Hodge agissant sur les formes différentielles, puis on utilise ceci pour montrer que la transformée de Riesz est bornée sur les espaces $L^p$ si $p$ est compris entre $1$ et la dimension de Sobolev. Enfin, on montre un résultat de perturbation pour la transformée de Riesz.
1:  LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray
opérateurs de Schrödinger – spectre – transformée de Riesz – noyau de la chaleur – estimée gaussienne – inégalité de Sobolev.

Schrödinger operators and Riesz transform on complete, non-compact manifolds
In a first part, we give a necessary and sufficient condition so that a Schrödinger operator on a complete non-compact manifold has a finite number of negative eigenvalues. In a second part, we study the Riesz transform on a class of complete non-compact manifolds satisfying a Sobolev inequality. We first show a Gaussian estimate for the heat kernel of generalise Schrödinger operators, for example the Hodge Laplacian acting on differential forms, then we use this to show that the Riesz transform is bounded on the $L^p$ spaces for $p$ between $1$ and the Sobolev dimension. Finally, we show a perturbation result for the Riesz transform.
Schrödinger operators – spectrum – Riesz transform – heat kernel Gaussian estimate – Sobolev inequality.