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Université de Nantes (02/12/2008), Philippe Carmona (Dir.)
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Polymères Dirigés et Réseaux Conducteurs de Chaleur - Systèmes de mécanique statistique à l'équilibre et hors équilibre
Alain Camanes1

Dans cette thèse, nous étudions deux exemples issus de la mécanique statistique. Les polymères dirigés en environnement aléatoire sont un modèle de système se trouvant à l'état d'équilibre. Nous donnons un critère de comparaison entre les entropies du réseau et de l'environnement permettant d'améliorer la borne inférieure sur la température critique. Nous utilisons également certains résultats connus dans le cadre de l'équation d'Anderson parabolique pour obtenir le comportement asymptotique de l'énergie libre. Par ailleurs, nous utilisons les polymères dirigés pour donner une preuve simple de l'indépendance de la fonction de Lyapunov de l'équation d'Anderson parabolique par rapport à la condition initiale.

Les réseaux conducteurs de chaleur sont étudiés hors équilibre. Lorsque les potentiels d'interaction sont harmoniques, nous donnons une interprétation géométrique de la condition d'existence et d'unicité de la mesure invariante via un théorème de complétude. Dans le cas où cette condition fait défaut, nous explicitons une quantité invariante par le flot hamiltonien. Nous généralisons ensuite les résultats d'unicité à des potentiels analytiques. Nous montrons que la condition de Hörmander est suffisante pour avoir l'unicité de la mesure invariante via la contrôlabilité. Le principe de Lasalle est ensuite utilisé pour montrer l'unicité sans la condition d'Hörmander. Nous évoquons également le problème de l'existence de telles mesures.
1:  LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray
Polymères dirigés en environnement aléatoire – Transitions de phase – Équation d'Anderson Parabolique – Réseaux conducteurs de chaleur – Mesures invariantes – Principe de Lasalle – Condition de Hörmander – Contrôlabilité

Directed Polymers and Heat Conduction Networks - Statistical mechanics systems in and out of equilibrium
This PhD thesis presents two examples arising in statistical mechanics. Directed polymers in random environment are a model of an equilibrium system. We give a criterium based on the comparison between network and environment entropies to provide an improved lower bound on the critical temperature. We also use some well-known results about Anderson Parabolic Equation to obtain an asymptotic on the free energy. We also use directed polymers to give a simple proof of the independance on the initial condition of the Lyapunov function in the Anderson Parabolic Equation.

Heat conduction networks are studied out of equilibrium. When the interacting potentials are harmonic, we give a geometric interpretation of the existence and uniqueness of the invariant measure using a completeness theorem. When this geometric condition fails to occur, we give an explicit invariant of the Hamiltonian flow. We generalize the uniqueness results to analytic potentials. We also show that the Hörmander condition is sufficient to obtain uniqueness of the invariant measure via weak controlability. Lasalle's principle is used to avoid Hörmander's condition. We will also bring up the problem of existence.
Directed Polymers in Random Environment – Phase Transition – Parabolic Anderson Equation – Heat Conduction Networks – Invariant Measures – Lasalle Principle – Hörmander Condition – Controlability.