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Université de Nantes (27/10/2005), Francois JAUBERTEAU (Dir.)
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Etudes numériques du spectre d'un opérateur de Schrödinger avec champ magnétique constant.
Rahhal Janane1

Cette thèse comporte quatre parties. Les deux premières parties concernent le calcul de la première valeur propre de familles d'opérateurs de Neumann en utilisant d'abord une méthode basée sur les différences finies, puis une approximation par une méthode d'éléments finis sans quadrature numérique. Pour le calcul numérique de la plus petite valeur propre, la méthode de la puissance inverse a été implémentée avec factorisation LU de la matrice considérée pour la résolution des systèmes linéaires utilisés.
La troisième partie porte sur un problème de valeurs propres faisant intervenir un opérateur de Schrödinger avec champ magnétique constant issu de la théorie de Ginzburg-Landau et concernant la supraconductivité de certains matériaux. Pour la résolution numérique, une méthode basée sur les éléments finis avec intégration numérique est utilisée. Dans cette partie, une évaluation de la partie basse du spectre de la réalisation de Neumann est obtenue. Ensuite, l'existence des solutions du problème variationnel spectral a été établie. L'étude de la convergence et l'estimation des erreurs pour les paires propres approchées avec quadrature numérique dans le cas où les fonctions propres sont vectorielles, sont semblables à celles obtenues dans le cas où les fonctions propres sont réelles. Dans l'étude de ces estimations, la distinction est faite entre le cas d'une valeur propre exacte simple et le cas d'une valeur propre exacte multiple. La quatrième partie porte sur la mise en œuvre de la résolution numérique du problème précédent.
1:  LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray
Opérateur de Schrödinger avec champ magnétique constant – différences finies – formulation variationnelle vectorielle – éléments finis – quadrature numérique – estimation des erreurs – raffinement de millage

Numerical studies of the spectrum of an operator of Schrödinger with constant magnetic field.
The first and second parts are about the computation of the first eigenvalue of families of Neumann operators, with finite elements. The third part concerns an eigenvalue problem for Schrödinger operator with constant magnetic field resulting from the theory of Ginzburg-Landau theory on supraconductivity. The numerical computation is based on finite element method with numerical integration. The existence of solutions for the variational formulation is studied. The fourth part is about the numerical resolution of the preceding problem for several domains with different geometries. They are in agreement with the theory.
Schrödinger operator with constant magnetic field – finite differences – weak vectoriel formulation – finite elements – numerical quadrature – error estimates – mesh refinement.