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École normale supérieure de Cachan - ENS Cachan (27/11/2009), Arnaud Debussche (Dir.)
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Quelques résultats sur l'équation de Cahn-Hilliard stochastique et déterministe
Ludovic Goudenège1

Nous nous intéressons d'abord à l'équation aux dérivées partielles stochastique de Cahn-Hilliard en dimension 1 avec une seule singularité. C'est une équation d'ordre 4 dont la non linéarité est de type logarithmique ou en puissance négative $x^{-\alpha}$, à laquelle on ajoute la dérivée d'un bruit blanc en espace et en temps. On montre l'existence et l'unicité des solutions en utilisant les solutions d'équations approchées aux non linéarités Lipschitz. La présence d'une mesure de réflexion permet d'assurer l'existence de solutions. On étudie ces mesures à l'aide des mesures de Revuz associées et, grâce à une formule d'intégration par parties, on montre qu'elles sont identiquement nulles lorsque alpha est plus grand ou égal à 3. Dans un deuxième temps, on considère la même équation mais avec deux singularités logarithmiques en +1 et -1. Il s'agit du modèle complet de l'équation de Cahn-Hilliard. Cette fois-ci on utilise des équations approchées aux non linéarités polynomiales pour montrer l'existence et l'unicité de solutions. Deux mesures de réflexion doivent ici être ajoutées pour assurer l'existence. De plus, on montrera que la mesure invariante est ergodique. Enfin, on étudie l'équation déterministe : des simulations numériques basées sur une méthode d'élements finis de hauts degrés permettent d'illustrer plusieurs résultats théoriques. La capture des interfaces et des états stationnaires requiert une attention particulière. On s'intéressera également aux bifurcations autour de la première valeur propre du Laplacien sur des domaines généraux. Par ailleurs, quelques simulations stochastiques permettent de mettre en évidence les instants de contact avec les singularités, les évolutions stochastiques en temps long et les changements d'états stationnaires.
1:  IRMAR - Institut de Recherche Mathématique de Rennes
Equations aux dérivées partielles stochastiques – Cahn-Hillliard – mesures invariantes – mesures de réflexion – mesures de Revuz – singularité – non linéarité logarithmique – formule d'intégration par parties – ergodicité – éléments finis – hauts degrés – bifurcations – interface – contact – états stationnaires – évolutions en temps long

Some results about the stochastic and deterministic Cahn-Hilliard equation
In a first part, we are concerned with the stochastic Cahn-Hilliard partial differential equation in dimension 1 with one singularity. This is an equation of order 4 driven by the derivative of a space-time white noise. There is a logarithmic nonlinearity or a negative power $x^{-\alpha}$ nonlinearity. Thanks to Lipschitz approximated equations, we show existence and uniqueness of a solution. It is necessary to add a reflection measure to ensure existence. We study it with the associated Revuz measure. Thanks to the associated integration by parts formula, we can show that the reflection measure vanishes for alpha larger than 3. In a second part, we consider the same equation but with two logarithmic singularities in +1 and -1. This is the full Cahn-Hilliard's model. With polynomial approximated equations, we show the existence and uniqueness. We should add two reflection measures to ensure the existence. Moreover, we establish that the invariant measure is ergodic. Finally, we are concerned with the deterministic equation. Some numerical simulations based on a high order finite elements method have been computed. We study the bifurcations around the first eigenvalue of the Laplace operator on general domains, the interfaces and the stationary states. Furthermore, some stochastic simulations have been computed in order to show the contacts with the singular values. The long time evolutions and the jump between stationary states are also treated.
Stochastic partial differential equation – Cahn-Hillliard – invariant measures – reflection measures – Revuz measures – singularity – logarithmic non-linearity – integration by parts formula – ergodicity – finite elements – high degrees – bifurcations – interface – contact – stationary states – long time evolutions