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Université Rennes 1 (24/09/2009), Monique Dauge (Dir.)
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Modélisation mathématique de phénomènes électromagnétiques dans des matériaux à fort contraste
Victor Péron1

Ce travail est consacré à l'étude d'un problème de transmission d'ondes électromagnétiques dans des matériaux fortement conducteurs entourés d'un matériau diélectrique isolant. On analyse finement le phénomène de l'effet de peau à l'aide de l'analyse asymptotique et de la simulation numérique. On calcule un développement asymptotique multi-échelle à haute conductivité des solutions des équations de Maxwell tridimensionnelles en régime harmonique. Pour valider ce développement, on établit des estimations uniformes par sous-domaines des solutions de ces équations pour une conductivité assez élevée. Ces estimations ont motivé une étude préliminaire d'un problème de transmission scalaire pour lequel des estimations a priori sont démontrées grâce à la convergence normale d'un développement asymptotique. L'accord des formules théoriques avec les calculs numériques est remarquable et met en évidence l'influence de la géométrie de l'interface dans le phénomène de l'effet de peau.

D'autre part, on étudie le comportement du champ électromagnétique dans une cellule biologique modélisée par un milieu entouré d'une couche mince et plongée dans un milieu ambiant. On calcule des conditions de transmission approchées sur le bord du domaine intérieur équivalentes à la couche mince.
1:  IRMAR - Institut de Recherche Mathématique de Rennes
analyse asymptotique – couche limite – ondes électromagnétiques – effet de peau – équations de Maxwell – haute conductivité – analyse numérique – couche mince – électroporation

Mathematical modeling of electromagnetic phenomena in high contrast media
This work consists in the study of transmission problems of electromagnetic waves in high contrast media, like a highly conducting body embedded in an insulating medium. We perform an accurate analysis of the skin effect by the way of the asymptotic analysis and numerical simulations. We derive a scaled asymptotic expansion in the three dimensionnal cae of the harmonic Maxwell equations with high conductivity. We prove uniform estimates with respect to the high conductivity in polyhedral domains with Lipschitz boundaries. These estimates motive the study of a scalar transmission problem, in which case a priori estimates are obtained by the way of an asymptotic expansion. Numerical simulations in axisymetric geometry highlight the skin effect and show the expansion accuracy.

Next, we study the behavior of the electromagnetic field in a biological cell modelized by a medium surrounded by a thin layer and embedded in an ambient medium. We derive approximate transmission conditions in order to replace the membrane by these conditions on the boundary of the interior domain.
asymptotic analysis – boundary layer – electromagnetic waves – skin effect – Maxwell equations – high conductivity – numerical analysis – thin layer – electroporation process