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Université Nice Sophia Antipolis (2009-10-23), Ivan Kupka (Pr.)
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Equivalence et Linearisation des systèmes de contrôle
Jean-Baptiste Pomet1

Les modèles de systèmes de contrôle en dimension finie et en temps continu sont les équations différentielles ordinaires sous-déterminées, c'est-à-dire prescrivant l'évolution d'une partie des variables alors que d'autres, les contrôles, sont libres. Cette sous-détermination fait que la classe de transformations possibles est très variée et que le problème est par exemple très différent de celui des systèmes dynamiques classiques (sans contrôle, ou équations différentielles ordinaires déterminées). On a fait, dans le chapitre 1 (le seul original) un effort de clarification des différents types de transformations (statiques, dynamiques, fonctionnelles..) en les énonçant en terme de correspondances entre solutions; on présente ensuite des contributions des dernières années, concernant des conditions géométriques d'équivalence ou de linéarisation, et des problèmes encore ouverts; les détails sont contenus dans huit articles publiés reproduits dans le mémoire aux chapitres suivants (en anglais) avec seulement quelques modifications de référencement.

Étudier la structure des transformations sur les modèles, leur équivalence, leur classification a deux motivations distinctes:
- pour concevoir un contrôleur à partir d'un modèle donné du système, on a souvent intérêt à analyser, comprendre, simplifier ce modèle,
- le choix d'un modèle demande une compréhension de la structure de la classe des modèles non-linéaires (par exemple: quand deux modèles traduisent-ils la même réalité?). La modélisation ou l'identification non-linéaires sont encore des champs en friche qui manquent de fondements conceptuels.

1 :  INRIA Sophia Antipolis - APICS
Contrôle – équivalence – linéarisation – transformations – feedback – feedback dynamique – platittude

Equivalence and linearization of control systems

Models of continuous-time finite-dimensional control systems are under-determined ordinary differential equations. This under-determination (only part of the time-derivatives are prescribed; some variables, the controls, are free) makes the class of transformations potentially very rich and the classification problem quite different from the one of dynamical systems (without control, determined ordinary differential equations). In chapter one (in French) (the only original part), an effort has been done in clarifying and unifying the different types of transformations (static, dynamic, functional..) by translating all of them in terms of correspondences between sets of solutions. Contributions in terms of geometric conditions are then presented, as well as open problems; all details are contained in eight published articles, reproduced in the following chapters (in English) with minor cross-referencing modifications.

Two main motivations for understanding better the structure of the set of models, equivalence and transformations are
- analyzing, understanding and possibly simplifying a model may considerably ease the design of a controller based on this model,
- choosing a model requires a deep understanding of the class of models, that is, to date, mostly missing (for instance: how do I know that two models translate "the same" reality?); nonlinear modeling or identification are still immature because of this lack of foundations.

Control – equivalence – linearisation – transformations – feedback – dynamic feedback – flatness