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Fiche détaillée Thèses
Université de Picardie Jules Verne (14/12/2000), Pierre Cartier (Dir.)
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Séries génératrices non-commutatives de polyzêtas et associateurs de Drinfeld
Georges Racinet1

On étudie les relations algébriques sur le corps des nombres rationnels entre les nombres polyzêtas (généralisations à plusieurs indices des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers positifs).

Après avoir dressé une liste de relations algébriques considérées comme élémentaires, j'explore l'algèbre des "polyzêtas formels" définie par ces relations (et elles seules). Je mets en évidence une structure de torseur sur l'ensemble DM des séries génératrices non-commutatives de polyzêtas "formels". Ce torseur est imité du torseur des associateurs, défini par Drinfel'd. Ils sont tous deux réalisés comme ensembles de séries formelles non-commutatives sur deux lettres et leurs lois d'actions sont données par les mêmes formules. On en déduit facilement que l'algèbre des polyzêtas formels est une algèbre de polynômes (théorème d'Écalle). L'intersection du groupe pro-unipotent DM et du groupe GRT de Drinfel'd (lié aux associateurs) est très grosse et il est naturel de conjecturer que ces groupes sont égaux.
1 :  LAMFA - Laboratoire Amiénois de Mathématique Fondamentale et Appliquée
Associateurs de Drinfeld – MZV – multizetas – polyzetas

We study a double shuffle relations among Multiple Zeta Values (MZVs) that are believed to be complete. We express them on the generating noncommutative power series of MZVs (aka Drinfeld's KZ associator) and show that the (scheme of) series satisfying such relations is a torsor with the same action law than Drinfeld's. Also, the associated group contains the conjectural generators of Drinfelds GRT. We finally conjecture that both torsors are actually the same, ie that double shuffle are formally equivalent to associators relations.
Drinfeld's associators – MZV – multizetas – polyzetas