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On the fast Khintchine spectrum in continued fractions

Fan Ai-Hua1, Lingmin Liao2, Bao-Wei Wang3, Jun Wu3

For $x\in [0,1)$, let $x=[a_1(x), a_2(x),\cdots]$ be its continued fraction expansion with partial quotients $\{a_n(x), n\ge 1\}$. Let $\psi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ be a function with $\psi(n)/n\to \infty$ as $n\to \infty$. In this note, the fast Khintchine spectrum, i.e., the Hausdorff dimension of the set $$ E(\psi):=\Big\{x\in [0,1): \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\psi(n)}\sum_{j=1}^n\log a_j(x)=1\Big\} $$ is completely determined without any extra condition on $\psi$.

1 :	LAMFA - Laboratoire Amiénois de Mathématique Fondamentale et Appliquée
2 :	LAMA - Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées
3 :	Department of Mathematics

Mots Clés : Continued fractions – fast Khintchine spectrum – Hausdorff dimension

hal-00723315, version 1

http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00723315

oai:hal.archives-ouvertes.fr:hal-00723315

Contributeur : Lingmin Liao <>

Soumis le : Jeudi 9 Août 2012, 08:25:33

Dernière modification le : Jeudi 9 Août 2012, 09:04:15