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Université Louis Pasteur - Strasbourg I (2008-12-02), Jean-Pierre Wintenberger (Dir.)
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Caractère d'isogénie et borne uniforme pour les homothéties
Agnès David1

L'objet de cette thèse est l'obtention de résultats uniformes sur l'image des représentations galoisiennes associées aux points de torsion des courbes elliptiques possédant une isogénie de degré premier.

Le cadre se compose d'un corps de nombres K différent de Q et galoisien sur Q, d'une courbe elliptique E définie sur K et d'un nombre premier p ; on suppose que la courbe E possède une isogénie de degré p définie sur K.

On détermine explicitement un nombre réel C(K), ne dépendant que du corps de nombres K, tel que si p est choisi strictement supérieur à C(K), alors l'image de la représentation galoisienne associée aux points de p-torsion de E contient les homothéties qui sont des puissances douzièmes. Ce résultat complète des travaux précédents d'Eckstein sur les homothéties dans l'image des représentations galoisiennes associées aux points de torsion des courbes elliptiques.

La méthode employée est celle de Momose pour l'étude du caractère donnant l'action du groupe de Galois absolu de K sur le sous-groupe d'isogénie d'ordre p ("caractère d'isogénie").
Pour p strictement plus grand que C(K), on obtient deux formes possibles précises pour ce caractère d'isogénie : soit sa puissance douzième est égale au caractère cyclotomique à la puissance 6 ; soit il lui est naturellement associé un corps quadratique imaginaire et sa puissance douzième présente des similarités avec celle d'un caractère provenant d'une courbe elliptique à multiplication complexe.
1:  IRMA - Institut de Recherche Mathématique Avancée
courbe elliptique – corps de nombres – représentation galoisienne – points de torsion – image de Galois – homothéties – isogénie – sous- groupe de Borel

Isogeny character and uniform bound for homotheties
Isogeny character and uniform bound for homotheties
elliptic curve – number fields – Galois representation – torsion points – image of Galois – homotheties – isogeny – Borel subgroup