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Université Joseph-Fourier - Grenoble I (20/12/2002), LAURENT-THIÉBAUT Christine (Dir.)
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Résolution avec régularité jusqu'au bord de l'équation de Cauchy-Riemann dans des domaines à coins et de l'équation de Cauchy-Riemann tangentielle en codimension quelconque
Hélène RICARD1

Dans ce travail, nous nous intéressons principalement à l'étude de deux équations classiques : l'équation de Cauchy-Riemann dans certains domaines de ${\Bbb C}^n$ et l'équation de Cauchy-Riemann tangentielle dans certains domaines d'une sous-variété CR générique $q$-concave. L'étude, liée à chaque équation, consiste, dans un premier temps, à obtenir des résultats de résolution locale avec des solutions ayant des propriétés de régularité jusqu'au bord des domaines considérés. Dans le cadre complexe, la méthode de résolution consiste à construire explicitement une solution grâce à la théorie des représentations intégrales, théorie dont l'essor date des années 70 grâce aux résultats de H. Grauert, G.M. Henkin, I. Lieb et E. Ramirez. On en deduit ainsi des estimations ${\cal C}^k$ sur des domaines à coins $q$-convexes et $q$-concaves locaux. Dans le cadre CR, la résolution se déduit des résultats obtenus dans le cas complexe grâce à des outils d'algèbre homologique et de théorie des faisceaux découlant en particulier de travaux de A. Andreotti, G. Fredericks, C.D. Hill et M. Nacinovich. On obtient alors des résultats locaux de résolution du $\bar \partial _b$ pour des formes de classe ${\cal C}^\infty$ jusqu'au bord des domaines considérés. Ensuite, on utilise les résultats locaux ainsi que la méthode <> due à H. Grauert pour montrer des théorèmes globaux d'annulation, de finitude ou de séparation des groupes de cohomologie.
1:  IF - Institut Fourier
Équation de Cauchy-Riemann – $q$-convexité – $q$-concavité – estimations jusqu'au bord – équation de Cauchy-Riemann tangentielle – sous-variété CR $q$-concave – théorème d'Andreotti-Vesentini – théorie d'Andreotti-Grauert
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/THESE/ps/ricard.ps.gz

In this work, we are mainly interested in the study of two classical equations : the Cauchy-Riemann equation on some domains of ${\Bbb C}^n$ and the tangential Cauchy-Riemann equation on some domains in a generic $q$-concave CR manifold. For each equation the first step is to obtain local results with solutions having regularity properties up to the boundary of the domain. In the complex case, the method consists in an explicit construction of a solution to the Cauchy-Riemann equation using integral representation theory. This theory revived anew in the seventies with the work of H. Grauert, G.M. Henkin, I. Lieb and E. Ramirez. Thus, we prove ${\cal C}^k$-estimates for the Cauchy-Riemann equation on local $q$-convex and $q$-concave wedges. In the CR case, local results are deduced from the complex case using some tools of homological algebra and sheaf theory. These methods are coming in particular from works of A. Andreotti, G. Fredericks, C.D. Hill and M. Nacinovich. Then we show local results for the tangential Cauchy-Riemann equation for differential forms smooth up to the boundary of the domain. Next, we use the local results and the Grauert's bumping method to prove some vanishing, finiteness and separation theorems for the cohomology groups.