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PhD thesis

Université Rennes 1 (11/10/2002), Coste-Roy Marie-Françoise (Dir.)

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Polynômes multisymétriques

Emmanuel Briand1

L'objet de cette thèse est l'étude des polynômes multisymétriques : les invariants de l'action diagonale d'ordre r du groupe symétrique Sn. Le premier chapitre est consacré à des généralités sur ces objets. En particulier, de nombreuses formules sont données pour exprimer les différentes familles remarquables de polynômes multisymétriques les unes en fonction des autres. Dans le deuxième chapitre, on présente un algorithme pour calculer une base de Gröbner de l'idéal des relations entre les polynômes multisymétriques élémentaires. Le troisième chapitre a pour objet le lien entre les polynômes multisymétriques et la sous-variété des produits de formes linéaires dans l'espace des polynômes homogènes de degré n en r+1 variables. On calcule explicitement une base de Gröbner de l'idéal de cette sous-variété dans le cas n=3,r=3 et dans le cas n=4,r=2. Des reformulations de la conjecture du pléthysme de Foulkes-Howe en termes de polynômes multisymétriques sont aussi données, qui permettent la vérification de cette conjecture aux petits ordres. Le dernier chapitre est consacré à l'étude de relations explicites entre fonctions multisymétriques des zéros et coefficients de certains systèmes d'équations polynomiales avec un nombre fini de solutions.

1:	IRMAR - Institut de Recherche Mathématique de Rennes

keyword(s) : Polynômes multisymétriques – produits symétriques – formes factorisables – relations entre coefficients et racines.

This thesis deals with the study of the multi-symmetric polynomials : the invariants under the diagonal action of order r of the symmetric group Sn. The first chapter is devoted to generalities about these objects. Many formulae are given that connect the various remarkable families of multi-symmetric polynomials with one another. In the second chapter, it is presented an algorithm to compute a Gröbner basis of the ideal of relations between the elementary multi-symmetric polynomials. The third chapter deals with the connection between the multi-symmetric polynomials and the subvariety of products of linear forms inside the space of forms of degree n in r+1 variables. A Gröbner basis of the ideal of this subvariety is computed in the case n=4,r=3, and in the case n=4,r=2. Also, reformulations of the Foulkes-Howe Plethysm conjecture in terms of multi-symmetric polynomials is given. The last chapter is devoted to the study of explicit relations between the multi-symmetric functions of the roots and the coefficients of certain systems of polynomials equations with finitely many solutions.

tel-00002085, version 1

http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00002085

oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00002085

From: Emmanuel Briand <>

Submitted on: Monday, 27 January 2003 19:02:38

Updated on: Monday, 27 January 2003 19:02:38