Geometric Satake correspondance, canonical bases and Schützenberger involution

Correspondance de Satake géométrique, bases canoniques et involution de Schützenberger

Arnaud Demarais (1)

1 IRMA - Institut de Recherche Mathématique Avancée

In this thesis we study geometric Satake correspondance. First we identify the intersection form throught the correspondance. It equals a contravariant form twisted by Schützenberger's involution. Then we use a combinatoric conjecture to demonstrate the compatibility of the Mirkovic and Vilonen basis with the Schützenberger involution. We demonstrate this conjecture for the sl2 case. The combinatoric tools created to demonstrate this conjecture allow us to demonstrate that the dual semicanonical basis semicanonique duale equals the generalized Mirovic et Vilonen basis.

On étudie dans cette thèse la correspondance de Satake géométrique. Un premier résultat est l’identification de la forme d’intersection au travers de la correspondance de Satake géométrique. En effet elle est égale à la forme contravariante "tordue"par l’involution de Schützenberger. On fait alors une conjecture combinatoire afin de démontrer que la base de Mirkovic ́ et Vilonen est compatible avec l’involution de Schützenberger. On démontre cette conjecture dans le cas où l’algèbre de Lie est sl2. Les outils combinatoires développés pour démontrer cette conjecture permettent, en outre, de prouver que la base semicanonique duale coïncide, pour sl2, avec la base de Mirovic et Vilonen généralisée.

Mots clés: Geometric Satake correspondence

Mots clés: Correspondance de Satake géométrique

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Arnaud Demarais. Correspondance de Satake géométrique, bases canoniques et involution de Schützenberger. Mathématiques générales [math.GM]. Université de Strasbourg, 2017. Français. ⟨NNT : 2017STRAD040⟩. ⟨tel-01652887v3⟩