Study of Localization for Disordered Systems on Quantum Graphs
Étude de la localisation pour des systèmes désordonnés sur un graphe quantique
Résumé
This work is devoted to the study of some spectral properties of random Schrödinger operators. It is divided into two parts: 1. A study of localization for multi-particle systems on quantum graphs. 2. An abstract formulation of some Wegner estimates, followed by a list of applications for concrete models. In Chapter 1 we try to introduce the problems and the results of this thesis in an elementary way. The first part occupies chapters 2 and 3. Chapter 2 essentially reproduces our article "Anderson Localization for a multi-particle quantum graph" [97] on this subject. In Chapter 3 we discuss some additional properties of our model, and we give alternative proofs to some results of Chapter 2. The second part occupies chapters 4 and 5. Chapter 4 essentially reproduces our article "Some abstract Wegner estimates with applications" [98]. In Chapter 5 we continue the study of Wegner estimates by giving more abstract theorems in Section 5.2 and yet more applications in Section 5.3. We conclude with two appendices A and B. In the first one we explain the theory of generalized eigenfunction expansions in great detail. In Appendix B, we prove some classical results used in the text.
Ce travail est consacré à l'étude de certaines propriétés spectrales des opérateurs de Schrödinger aléatoires. Il est divisé en deux parties : 1. Une étude de la localisation d'Anderson pour des systèmes multi-particules sur un graphe quantique. 2. Une formulation abstraite de quelques estimées de Wegner, suivie par une liste d'applications pour des modèles concrets. Au Chapitre 1 on essaie d'introduire les problèmes et les résultats de la thèse de façon élémentaire. La première partie occupe les chapitres 2 et 3. Le Chapitre 2 consiste essentiellement en notre article "Anderson Localization for a multi-particle quantum graph" [97] sur le sujet. Au Chapitre 3 on discute quelques propriétés supplémentaires du modèle, et on donne surtout des démonstrations alternatives de certains résultats du Chapitre 2. La deuxième partie occupe les chapitres 4 et 5. Le Chapitre 4 reproduit essentiellement notre article "Some abstract Wegner estimates with applications" [98]. Au Chapitre 5 on poursuit l'étude des estimées de Wegner, en donnant notamment quelques théorèmes abstraits supplémentaires dans la Section 5.2 et encore d'autres applications dans la Section 5.3. On conclut avec deux annexes A et B. Dans la première on expose de manière très détaillée les développements en fonctions propres généralisées. Dans l'Annexe B, on démontre quelques résultats classiques utilisés dans le texte.
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