Genericity and prevalence of multifractal properties of traces of functions

Généricité et prévalence des propriétés multifractales de traces de fonctions

Delphine Maman (1)

1 LAMA - Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées

Multifractal analysis consists in the study of local properties of set of measures or functions. Its importance appeared in the frame of fully developed turbulence. In this area, physicists do not know the velocity of a fluid at all points but they can measure its value in one point in function of time. Hence, they do not measure the velocity function of the fluid but its trace.This thesis will be mainly dedicated to the study of local behavior of traces of Besov functions: we will determine the Hausdorff dimension of sets of points with a given Hölder exponent (the so-called multifractal spectrum). In order to easily characterize Hölder exponent and Besov spaces, we will use wavelet decomposition. We will not get the value of the multifractal spectrum of the trace of all functions of a Besov space, but its value for a generic set of functions. Then, we will use two notions of genericity : prevalence and Baire's genericity. Even if generic and prevalent properties can be different, here they will be the same.In the last part, in order to establish what a multifractal spectrum shape can be, we will construct a function which is its own spectrum

L'analyse multifractale est l'étude des propriétés locales des ensembles de mesures ou de fonctions. Son importance est apparue dans le cadre de la turbulence pleinement développée. Dans ce cadre, l'expérimentateur n'a pas accès à la vitesse en tout point d'un fluide mais il peut mesurer sa valeur en un point en fonction du temps. On ne mesure donc pas directement la fonction vitesse du fluide, mais sa trace. Cette thèse sera essentiellement consacrée à l'étude du comportement local de traces de fonctions d'espaces de Besov : nous déterminerons la dimension de Hausdorff des ensembles de points ayant un exposant de Hölder donné (spectre multifractal). Afin de caractériser facilement l'exposant de Hölder et l'appartenance à un espace de Besov, on utilisera la décomposition de fonctions sur les bases d'ondelettes.Nous n'obtiendrons pas la valeur du spectre de la trace de toute fonction d'un espace de Besov mais sa valeur pour un ensemble générique de fonctions. On fera alors appel à deux notions de généricité différentes : la prévalence et la généricité au sens de Baire. Ces notions ne coïncident pas toujours, mais, ici on obtiendra les mêmes résultats. Dans la dernière partie, afin de déterminer la forme que peut prend un spectre multifractal, on construira une fonction qui est son propre spectre

Mots clés: Fractals and multifractals; Function traces; Baire genericity; Hausdorff measures and dimension.spectrum; Wavelets

Mots clés: Fractales et multifractales; Traces de fonctions; Prévalence; Généricité de Baire; Dimension et mesures de hausdorff; Ondelettes

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Delphine Maman. Généricité et prévalence des propriétés multifractales de traces de fonctions. Mathématiques générales [math.GM]. Université Paris-Est, 2013. Français. ⟨NNT : 2013PEST1090⟩. ⟨tel-00974540⟩