contribution à l'étude des processus Markoviens déterministes par morceaux. Etude d'un cas-test de la sûreté de fonctionnement et Problème d'arrêt optimal à horizon aléatoire
Résumé
Piecewise Deterministic Markov Processes (PDMP's) have been introduced in the literature by M.H.A. Davis as a general class of stochastics models. PDMP's are a family of Markov processes involving deterministic motion punctuated by random jumps. In a rst part, PDMP's are used to compute probabilities of top events for a case-study of dynamic reliability (the heated tank system) with two di erent methods : the rst one is based on the resolution of the di erential system giving the physical evolution of the tank and the second uses the computation of the functional of a PDMP by a system of integro-di erential equations. In the second part, we propose a numerical method to approximate the value function for the optimal stopping problem of a PDMP. Our approach is based on quantization of the postjump location and inter-arrival time of the Markov chain naturally embedded in the PDMP, and path-adapted time discretization grids. It allows us to derive bounds for the convergence rate of the algorithm and to provide a computable epsilon-optimal stopping time.
Les Processus Markoviens D eterministes par Morceaux (PDMP) ont et e introduits dans la litt erature par M.H.A Davis comme une classe g en erale de mod eles stochastiques. Les PDMP forment une famille de processus markoviens qui d ecrivent une trajectoire d eterministe ponctu ee par des sauts al eatoires. Dans une premi ere partie, les PDMP sont utilis es pour calculer des probabilit es d' ev enements redout es pour un cas-test de la abilit e dynamique (le r eservoir chau e) par deux m ethodes num eriques di erentes : la premi ere est bas ee sur la r esolution du syst eme di erentiel d ecrivant l' evolution physique du r eservoir et la seconde utilise le calcul de l'esp erance de la fonctionnelle d'un PDMP par un syst eme d' equations int egro-di erentielles. Dans la seconde partie, nous proposons une m ethode num erique pour approcher la fonction valeur du probl eme d'arr^et optimal pour un PDMP. Notre approche est bas ee sur la quanti cation de la position apr es saut et le temps inter-sauts de la chaî ne de Markov sous-jacente au PDMP, et la discr etisation en temps adapt ee a la trajectoire du processus. Ceci nous permet d'obtenir une vitesse de convergence de notre sch ema num erique et de calculer un temps d'arrêt epsilon-optimal.
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