On the controllability and its cost for some partial differential equations

Sur la contrôlabilité et son coût pour quelques équations aux dérivées partielles

Pierre Lissy (1)

1 LJLL - Laboratoire Jacques-Louis Lions

In this work, we focus on the controllability and its cost for some linear or nonlinar partial differential equations coming from physics. The first part of the thesis deals with the null controllability of the three-dimensional Navier-Stokes equations with Dirichlet boundary conditions and internal control distributed on a subdomain acting only one of the three equations. The proof is based on the return method as well as an original method of algebraic solvability of differential systems inspired by the works of Gromov. The second part of the thesis concerns the cost of control in small time or in the vanishing viscosity limit for linear unidimensional equations. At first, we show that we can in some cases make a link between these two issues, notably that it is possible to obtain results of uniform controllability for the transport-diffusion equation with constant coefficients controlled on the left side from known results concerning the heat equation. In a second step, we look at the cost of boundary control in small time for some equations for which the associated spatial operator is self-adjoint or skew-adjoint with compact resolvent and having eigenvalues that behaves asympotically as a polynomial, using the method of moments. We deduce results for linearized Korteweg-de-Vries equation, fractional diffusion equation and fractional Schrödinger equation.

Dans cette thèse, on s'intéresse à la contrôlabilité et son coût pour un certain nombre d'équations aux dérivées partielles linéaires ou non linéaires issues de la physique. La première partie de la thèse concerne la contrôlabilité à zéro de l'équation de Navier-Stokes tridimensionnelle avec conditions au bord de Dirichlet et contrôle interne distribué sur un sous-ouvert de domaine de définition n'agissant que sur une seule des trois équations. La preuve repose sur la méthode du retour ainsi que sur une méthode originale de résolution algébrique de systèmes différentiels inspirée de travaux de Gromov. La deuxième partie de la thèse concerne le coût du contrôle en temps petit ou en viscosité évanescente d'équations linéaires unidimensionnelles. Dans un premier temps, on montre que l'on peut, dans certains cas, faire un lien entre ces deux problèmes. Notamment il est possible d'obtenir des résultats de contrôlabilité uniforme de l'équation de transport-diffusion unidimensionnelle à coefficients constants contrôlée sur le bord gauche à l'aide de résultats déjà connus sur le contrôle de l'équation de la chaleur. Dans un second temps, on s'intéresse au coût du contrôle frontière en temps petit d'un certain nombre d'équations pour lesquelles l'opérateur spatial associé est autoadjoint ou anti-autoadjoint à résolvante compacte et ayant des valeurs propres se comportant de manière polynomiale, en utilisant la méthode des moments. On en déduit des résultats pour des équations de type Korteweg-de-Vries linéarisées, diffusion fractionnaire et Schrödinger fractionnaire.

Mots clés: nonlinear coupled systems; indirect control; return method; linear parabolic or dispersive equations; cost of the control in small time; vanishing viscosity; moment method.

Mots clés: systèmes non linéaires couplés; contrôle indirect; méthode du retour; équations linéaires paraboliques ou dispersives; coût du contrôle en temps petit; viscosité évanescente; méthode des moments.

Domaines: Optimisation et contrôle [math.OC]; Equations aux dérivées partielles [math.AP]

Pierre Lissy. Sur la contrôlabilité et son coût pour quelques équations aux dérivées partielles. Optimisation et contrôle [math.OC]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2013. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00918763⟩