Topics in elliptic and modular curves

Problèmes autour de courbes élliptiques et modulaires

Min Sha (1)

1 IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux

This thesis is divided into two parts. One is devoted to integral points on modular curves, and the other concerns pairing-friendly elliptic curves. In the first part, we give some effective upper bounds for the 'j'-invariant of integral points on arbitrary modular curves corresponding to congruence subgroups over arbitrary number fields assuming that the number of cusps is not less than 3. Especially, in the non-split Cartan case we provide much better bounds. As an application, we get similar results for certain modular curves with less than three cusps. In the second part, a new heuristic upper bound for the number of isogeny classes of ordinary pairing-friendly elliptic curves is given. We also heuristically analyze the Cocks-Pinch method to confirm some of its general consensuses. Especially, we present the first known heuristic which suggests that any efficient construction of pairing-friendly elliptic curves can efficiently generate such curves over pairing-friendly fields. Finally, some numerical evidence is given.

Cette thèse se divise en deux parties. La première est consacrée aux points entiers sur les courbes modulaires, et l'autre se concentre sur les courbes elliptiques à couplages.Dans la première partie, nous donnons quelques majorations effectives de la hauteur des j-invariants des points entiers sur les courbes modulaires quelconques associées aux sous-groupes de congruence sur les corps de nombres quelconques en supposant que le nombre des pointes est au moins 3. De plus, dans le cas d'un groupe de Cartan non-déployé nous fournissons de meilleures bornes. Comme application, nous obtenons des résultats similaires pour certaines courbes modulaires avec moins de 3 pointes.Dans la deuxième partie, nous donnons une nouvelle majoration du nombre de classes d'isogénie de courbes elliptiques ordinaires à couplages. Nous analysons également la méthode de Cocks-Pinch pour confirmer certaines de ses propriétés communément conjecturées. Par ailleurs, nous présentons la première analyse heuristique connue qui suggère que toute construction efficace de courbes elliptiques à couplages peut engendrer efficacement de telles courbes sur tout corps à couplages. Enfin, quelques données numériques allant dans ce sens sont données.

Mots clés: Modular curve; Integral point; J-invariant; Baker's method; Pairing-friendly elliptic curve; Cocks-Pinch method; Pairing-friendly field

Mots clés: Courbe modulaire; Point entier; J-invariant; Méthode de Baker; Courbe elliptique à couplages; Méthode de Cocks-Pinch; Corps à couplages

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Min Sha. Problèmes autour de courbes élliptiques et modulaires. Mathématiques générales [math.GM]. Université Sciences et Technologies - Bordeaux I, 2013. Français. ⟨NNT : 2013BOR14851⟩. ⟨tel-00879227⟩