Mathematical and numerical problems of some wave phenomena appearing in magnetic plasmas
Analyse mathématique et numérique de problèmes d'ondes apparaissant dans les plasmas magnétiques
Résumé
This dissertation investigates mathematical and numerical aspects of some wave phenomena appearing in magnetic plasmas. In order to model a probing technique for fusion plasmas, called reflectometry, a particular form of Maxwell's equations is studied. In the model, the dielectric tensor presents vanishing eigenvalues and diagonal terms. The study of the dispersion relation evidences two kinds of phenomena: cut-offs and resonances if the wave number goes either to zero or to infinity. Part I of the thesis gathers the theoretical results. The main novelty consists in the definition of a resonant solution. Indeed, because of a smooth vanishing sign-changing coefficient, the solution may be singular: one of its components may be non-integrable. However, using a limit absorption principle, a resonant solution is explicitly obtained by studying the integrable solutions of the regularized system plus a limiting process. The theoretical expression of the singularity is validated by numerical tests concerning the regularized system as the regularizing term goes to zero. Part II focuses on the numerical results. It includes the design of a new numerical method adapted to smooth coefficients. The method is based on the Ultra Weak Variational Formulation but requires specific shape functions, designed as local approximations of the adjoint equation. The convergence analysis of the method is performed in one dimension, for two dimensions the design procedure and the interpolation property of the shapes functions are detailed. The resulting high order method numerically tackles the approximation of cut-offs while the approximation of resonant solutions is still very challenging.
Cette thèse étudie les aspects mathématiques et numériques de phénomènes d'ondes dans les plasmas magnétiques. La réflectométrie, une technique de sonde des plasmas de fusion, est modélisée par les équations de Maxwell. Le tenseur de permittivité présente dans ce modèle des valeurs propres ainsi que des termes diagonaux qui s'annulent. La relation de dispersion met en évidence deux phénomènes cruciaux : coupures et résonances, lorsque le nombre d'onde s'annule ou tend vers l'infini. La partie I rassemble les résultats numériques. La grande nouveauté réside dans la définition d'une solution résonante. En effet, à cause des coefficients s'annulant continument en changeant de signe, la solution peut être singulière, i.e. avoir une composante non intégrable. Cependant, grâce au principe d'absorption limite, une solution résonante est explicitement définie comme la limite de solutions intégrables du problème régularisé. L'expression théorique de la singularité est validée par des tests numériques du passage à la limite. La partie II concerne l'approximation numérique. Elle comprend la mise en place d'une nouvelle méthode numérique adaptée aux coefficients réguliers. Celle-ci est basée sur la formulation variationnelle Ultra Faible mais nécessite des fonctions de base spécifiques, construites comme approximations locales du problème adjoint. L'analyse de convergence est effectuée en dimension un, en dimension deux la construction des fonctions de base et leur propriété d'interpolation sont détaillées. La méthode d'ordre élevé obtenue permet de simuler le phénomène de coupure tandis que simuler le phénomène de résonance en dimension deux reste un défi.
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