Stability of periodic waves, numerical scheme for chemiotaxis

Stabilité d’ondes périodiques, schéma numérique pour le chimiotactisme

Valérie Le Blanc (1)

1 ICJ - Institut Camille Jordan

This thesis is organized around two aspects of the study of partial differentialequations. In a first part, we study the stability of periodic solutions for conservationlaws. First, we prove asymptotic L1-stability of periodic solutions of scalarinhomogeneous conservation laws. Then, we show a result on structural stability ofroll-waves. More precisely, we prove that periodic solutions of a hyperbolic systemwithout viscosity are the limits of the solutions of the problem with viscosity, as theviscous term tends to 0. In a second part, we study a system of partial differentialequations derived from biology: the model of Patlak-Keller-Segel in dimension 2, describingthe phenomena of chemotaxis. For this model, we construct a finite-volumescheme, which approaches the solution while keeping some properties of the system:positivity, conservation of mass, energy estimate.

Cette thèse est articulée autour de deux facettes de l’étude des équations auxdérivées partielles. Dans une première partie, on étudie la stabilité des solutionspériodiques pour des lois de conservation. On démontre d’abord la stabilité asymptotiquedans L1 des solutions périodiques de lois de conservation scalaires et inhomogènes.On montre ensuite un résultat de stabilité structurelle des roll-waves. Plusprécisément, on montre que les solutions périodiques d’un système hyperbolique sansviscosité sont limites des solutions du problème avec viscosité, quand le terme deviscosité tend vers 0. Dans une deuxième partie, on s’intéresse à un système d’équationsaux dérivées partielles issu de la biologie : le modèle de Patlak-Keller-Segelen dimension 2 ; il décrit les phénomènes de chimiotactisme. Pour ce modèle, onconstruit un schéma de type volume fini, ce qui permet d’approcher la solution touten gardant certaines propriétés du système : positivité, conservation de la masse,estimation d’énergie.

Mots clés: Periodic waves; Chemiotaxis; Partial differential equations; Asymptotic L1-stability

Mots clés: Ondes périodiques; Chimiotactisme; Équations aux dérivées partielles; Stabilité asymptotique

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Valérie Le Blanc. Stabilité d’ondes périodiques, schéma numérique pour le chimiotactisme. Mathématiques générales [math.GM]. Université Claude Bernard - Lyon I, 2010. Français. ⟨NNT : 2010LYO10091⟩. ⟨tel-00845883⟩