Algebraic certificates for Budan's theorem

Certificats algébriques pour le théorème de Budan

Daniel Bembé (1)

1 LMB - Laboratoire de Mathématiques de Besançon (UMR 6623)

In this work we present two algebraic certificates for Budan's theorem. Budan's theorem claims the following. Let R be an ordered field, f in R[X] of degree n and a,b in R with a0. The algorithm for our first certificate is based on the historical proof by Budan which uses only combinatorial arguments. It has a complexity exponential in the degree of f. The algorithm for the second certificate is based on mixed Taylor series and shows a smaller complexity: The main calculation is solving a linear system; this is polynomial in the degree of f.

Dans ce travail, nous présentons deux certificats algébriques pour le théorème de Budan. Le théorème de Budan s'énonce comme suit : Soit R un corps ordonné, f in R[X] de degré n et a,b in R avec a0. L'algorithme pour notre premier certificat est basé sur la preuve historique par Budan, qui utilise uniquement des arguments combinatoires. Il a une complexité exponentielle dans le degré de f. L'algorithme pour le deuxième certificat est basé sur des suites de Taylor mixtes et exhibe une plus petite complexité : Le calcul principal est la résolution d'un système linéaire, ce qui est polynomiale dans le degré de f

Mots clés: Constructive real algebra; Real closure; Real root counting; Sturm's theorem; Budan-Fourier theorem; Virtual roots

Mots clés: Algébrique réelle constructive; Clôture réelle; Comptage des racines réelles; Théorème de Sturm; Théorème de Budan-Fourier; Racines virtuelles

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Daniel Bembé. Algebraic certificates for Budan's theorem. General Mathematics [math.GM]. Université de Franche-Comté, 2011. English. ⟨NNT : 2011BESA2022⟩. ⟨tel-00839189⟩