On packing, colouring and identification problems
Problèmes de placement, de coloration et d'identification
Résumé
In this thesis we study three theoretical computer science problems, namely the orthogonal packing problem (OPP for short), strong edge-colouring and identifying codes. OPP consists in testing whether a set of rectangular items can be packed in a rectangular container without overlapping and without exceeding the borders of this container. An additional constraint is that the rotation of the items is not allowed. The problem is NP-hard even when the problem is reduced to packing squares in a square. We propose an exact algorithm for solving OPP efficiently using the characterization of the problem by interval graphs proposed by Fekete and Schepers. For this purpose we use some compact representation of interval graphs - MPQ-trees. We show experimental results of our approach by comparing them to the results of other algorithms known in the literature. We observe promising gains. The study of strong edge-colouring and identifying codes is focused on the structural and computational aspects of these combinatorial problems. In the case of strong edge-colouring we are interested in the families of planar graphs and subcubic graphs. We show optimal upper bounds for the strong chromatic index of subcubic graphs as a function of the maximum average degree. We also show that every planar subcubic graph without induced cycles of length 4 and 5 can be strong edge-coloured with at most nine colours. Finally, we confirm the difficulty of the problem by showing that it remains NP-complete even in some restricted classes of planar subcubic graphs. For the subject of identifying codes we propose a characterization of non-trivial graphs having maximum identifying code number, that is n-1, where n is the number of vertices. We study the case of line graphs and prove lower and upper bounds for identifying code number in this class. At last we investigate the complexity of the corresponding decision problem and show the existence of a linear algorithm for computing the identifying code number of the line graph L(G) where G has the size of the tree-width bounded by a constant. On the other hand, we show that the identifying code problem is NP-complete in various subclasses of planar graphs.
Dans cette thèse, nous nous intéressons à trois problèmes issus de l'informatique théorique, à savoir le placement de formes rectangulaires dans un conteneur (OPP), la coloration dite "forte" d'arêtes des graphes et les codes identifiants dans les graphes. L'OPP consiste à décider si un ensemble d'items rectangulaires peut être placé sans chevauchement dans un conteneur rectangulaire et sans dépassement des bords de celui-ci. Une contrainte supplémentaire est prise en compte, à savoir l'interdiction de rotation des items. Le problème est NP-difficile même dans le cas où le conteneur et les formes sont des carrés. Nous présentons un algorithme de résolution efficace basé sur une caractérisation du problème par des graphes d'intervalles, proposée par Fekete et Schepers. L'algorithme est exact et utilise les MPQ-arbres - structures de données qui encodent ces graphes de manière compacte tout en capturant leurs propriétés remarquables. Nous montrons les résultats expérimentaux de notre approche en les comparant aux performances d'autres algorithmes existants. L'étude de la coloration forte d'arêtes et des codes identifiants porte sur les aspects structurels et de calculabilité de ces deux problèmes. Dans le cas de la coloration forte d'arêtes nous nous intéressons plus particulièrement aux familles des graphes planaires et des graphes subcubiques. Nous montrons des bornes optimales pour l'indice chromatique fort des graphes subcubiques en fonction du degré moyen maximum et montrons que tout graphe planaire subcubique sans cycles induits de longueur 4 et 5 est coloriable avec neuf couleurs. Enfin nous confirmons la difficulté du problème de décision associé, en prouvant qu'il est NP-complet dans des sous-classes restreintes des graphes planaires subcubiques. La troisième partie de la thèse est consacrée aux codes identifiants. Nous proposons une caractérisation des graphes identifiables dont la cardinalité du code identifiant minimum est n − 1, où n est l'ordre du graphe. Nous étudions la classe des graphes adjoints et nous prouvons des bornes inférieures et supérieures serrées pour la cardinalité du code identifiant minimum dans cette classe. Finalement, nous montrons qu'il existe un algorithme linéaire de calcul de ce paramètre dans la classe des graphes adjoints L(G) où G a une largeur arborescente bornée par une constante. En revanche nous nous apercevons que le problème est NP-complet dans des sous-classes très restreintes des graphes parfaits.
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