Multiscale method and model reduction for the propagation of localized uncertainties in the stochastic models.

Méthode multiéchelle et réduction de modèle pour la propagation d'incertitudes localisées dans les modèles stochastiques

Elias Safatly (1)

1 GeM - Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique

In many physical problems, an uncertain model can be represented as a set of stochastic partial differential equations. We are here interested in problems with many sources of uncertainty with a localized character in space. In the context of functional approaches for uncertainty propagation, these problems present two major difficulties. The first one is that their solutions are multi-scale, which requires model reduction methods and appropriate computational strategies. The second difficulty is associated with the representation of functions of many parameters in order to take into account many sources of uncertainty. To overcome these difficulties, we first propose a multi-scale domain decomposition method that exploits the localized side of uncertainties. An iterative algorithm is proposed, which entails the alternated resolution of global and local problems, the latter being defined on patches containing localized variabilities. Tensor approximation methods are then used to deal with high dimensional functional representations. Multi-scale separation improves the conditioning of local and global problems and also the convergence of the tensor approximation methods which is related to the spectral content of functions to be decomposed. Finally, for the handling of localized geometrical variability, specific methods based on fictitious domain approaches are introduced.

Dans de nombreux problèmes physiques, un modèle incertain peut être traduit par un ensemble d'équations aux dérivées partielles stochastiques. Nous nous intéressons ici à des problèmes présentant de nombreuses sources d'incertitudes localisées en espace. Dans le cadre des approches fonctionnelles pour la propagation d'incertitudes, ces problèmes présentent deux difficultés majeures. La première est que leurs solutions possèdent un caractère multi-échelle, ce qui nécessite des méthodes de réduction de modèle et des stratégies de calcul adaptées. La deuxième difficulté est associée à la représentation de fonctions de nombreux paramètres pour la prise en compte de nombreuses variabilités. Pour résoudre ces difficultés, nous proposons tout d'abord une méthode de décomposition de domaine multi-échelle qui exploite le caractère localisé des aléas. Un algorithme itératif est proposé, qui requiert une résolution alternée de problèmes globaux et de problèmes locaux, ces derniers étant définis sur des patchs contenant les variabilités localisées. Des méthodes d'approximation de tenseurs sont ensuite utilisées pour la gestion de la grande dimension paramétrique. La séparation multi-échelle améliore le conditionnement des problèmes à résoudre et la convergence des méthodes d'approximation de tenseurs qui est liée aux propriétés spectrales des fonctions à décomposer. Enfin, pour la prise en compte de variabilités géométriques localisées, des méthodes spécifiques basées sur les approches de domaines fictifs sont introduites.

Mots clés: Uncertainty quantification; Stochastic PDE; Multiscale; Numerical zoom; Domain Decomposition; Tensor approximation; Random domain; Fictitious domain method; Spectral stochastic methods.

Mots clés: Quantifications des incertitudes; EDP stochastiques; Multiéchelle; Zoom numérique; Décomposition de domaine; Approximation de tenseurs; Domaine aléatoire; Méthode de domaine fictif; Méthodes spectrales stochastiques.

Domaines: Analyse numérique [math.NA]; Mécanique [physics.med-ph]

Elias Safatly. Méthode multiéchelle et réduction de modèle pour la propagation d'incertitudes localisées dans les modèles stochastiques. Analyse numérique [math.NA]. Université de Nantes; Ecole Centrale de Nantes (ECN), 2012. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00798526⟩