Integer values of polynomials
Valeurs entières des polynômes
Résumé
Let $f(X)$ be a polynomial with rational coefficients, $S$ be an infinite subset of the rational numbers and consider the image set $f(S)$. If $g(X)$ is a polynomial such that $f(S)=g(S)$ we say that $g$ \emph{parametrizes} the set $f(S)$. Besides the obvious solution $g=f$ we may want to impose some conditions on the polynomial $g$; for example, if $f(S)\subset\Z$ we wonder if there exists a polynomial with integer coefficients which parametrizes the set $f(S)$. Moreover, if the image set $f(S)$ is parametrized by a polynomial $g$, there comes the question whether there are any relations between the two polynomials $f$ and $g$. For example, if $h$ is a linear polynomial and if we set $g=f\circ h$, the polynomial $g$ obviously parametrizes the set $f(\Q)$. Conversely, if we have $f(\Q)=g(\Q)$ (or even $f(\Z)=g(\Z)$) then by Hilbert's irreducibility theorem there exists a linear polynomial $h$ such that $g=f\circ h$. Therefore, given a polynomial $g$ which parametrizes a set $f(S)$, for an infinite subset $S$ of the rational numbers, we wonder if there exists a polynomial $h$ such that $f=g\circ h$. Some theorems by Kubota give a positive answer under certain conditions. The aim of this thesis is the study of some aspects of these two problems related to the parametrization of image sets of polynomials.
Soit un $f(X)$ un polynôme à coefficients rationnels, $S$ un ensemble infini du nombres rationnels. Soit $f(S)$ l' ensemble image de $f(X)$ sur $S$. Si $g(X)$ est un polynôme telle que $f(S)=g(S)$ on dit que $g$ parametrise l'ensemble $f(S)$. En plus de la solution $g=f$ on peut imposer autre conditions sur le polynôme $g$; par example, si $f(S)\subset\Z$, on peut se demander si il y a un polynôme à coefficients entiers que parametrise l'ensemble $f(S)$. De plus, si l'image $f(S)$ est parametrisé par un polynôme $g$, on peut demander si il y a de relations entre les polynômes $f$ et $g$. Par example, si $h$ est un polynôme linéaire et on pose $g=f\circ h$, évidemment le polynôme $g$ parametrise l'ensemble $f(\Q)$. Réciproquement, si nous avons que $f(\Q)=g(\Q)$ (ou aussi $f(\Z)=g(\Z)$) alors par le théorème d'irréductibilité de Hilbert il y a un polynôme linéaire $h$ telle que $g=f\circ h$. Donc, si $g$ est un polynôme que parametrise l'ensemble $f(S)$, pour un ensemble infinie de nombres rationnels, nous nous demandons si il y a un polynôme $h$ telle que $f=g\circ h$. Il y a de théorèmes par Kubota que donnons de réponses positif sous certain conditions. Le but de ce thèse est l'étude de certain aspects de cet deux problèmes lié à la parametrisation de les ensembles image de polynômes.
Loading...