Contribution to friable integers theory

Contribution à la théorie des entiers friables

Bruno Martin (1)

1 LMPA - Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville

Call integer $y$ friable if its largest prime factor does not exceed $y$. We study friable integers in the context of analytic and probabilistic number theory. We first address a problem initiated by Davenport in 1937, and explore conditions of validity for various generalizations of his expansion of the sine function as series of fractionnal part. These generalizations are described by a pair of functions, satisfaiying the convolution formula $f=g*\1$. We treat the case when $g$ is the Piltz function of order $z\in\CC$. In a second part, we investigate the asymptotic behaviour of the optimal constant in a friable version of the Turán-Kubilius inequality. Elaborating on recent results of La Bretèche and Tenenbaum, we generalize an asymptotic formula for the variance of an arithmetic additive function established by Hildebrand en 1983.

Un entier naturel est dit $y$-friable lorsque son plus grand facteur premier n'excède pas $y$. Ce travail est consacré à l'étude des entiers friables dans le cadre de la théorie analytique et probabiliste des nombres. La première partie est dévolue à un problème posé par Davenport en 1937, qui consiste à déterminer les conditions de validité de diverses généralisations de son développement de la fonction sinus en série de parties fractionnaires. Ces généralisations peuvent être décrites par un couple de fonctions arithmétiques, liées par la relation de convolution $f=g*\1$. Nous traitons le cas où $g$ est la fonction de Piltz d'ordre $z\in\CC$. La deuxième partie est consacrée à l'étude du comportement asymptotique de la constante optimale dans une version friable de l'inégalité de Turán-Kubilius. Précisant des résultats récents de La Bretèche et Tenenbaum, nous généralisons au cas friable une formule asymptotique de la variance d'une fonction arithmétique additive, établie par Hildebrand en 1983.

Mots clés: entiers friables; P-sommation; identités de Davenport; première fonction de Bernoulli; fonctions de Piltz; approximation diophantienne; fonction de Dickman; fonctions additives; inégalité de Turan-Kubilius; opérateur intégral; méthode de Galerkin.; méthode de Galerkin

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Bruno Martin. Contribution à la théorie des entiers friables. Théorie des nombres [math.NT]. Université de Lorraine, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00795666⟩