Morita theory in enriched context

Théorie de Morita dans un contexte enrichi

Kruna Segrt Ratkovic (1)

1 Algebre Geometrie Topologie

We develop a homotopy theoretical version of classical Morita theory using the notion of a strong monad. It was Anders Kock who proved that a monad T in a monoidal category E is strong if and only if T is enriched in E. We prove that this correspondence between strength and enrichment follows from a 2-isomorphism of 2-categories. Under certain conditions on T, we prove that the category of T-algebras is Quillen equivalent to the category of modules over the endomorphism monoid of the T-algebra T (I) freely generated by the unit I of E . In the special case where E is the category of Γ-spaces equipped with Bous field-Friedlander's stable model structure and T is the strong monad associated to a well-pointed Γ-theory, we recover a theorem of Stefan Schwede, as an instance of a general homotopical Morita theorem.

Nous développons une version homotopique de la théorie de Morita classique en utilisant la notion de monade forte. C'était Anders Kock qui a montré qu'une monade T dans une catégorie monoidale E est forte si et seulement si la monade T est enrichie. Nous montrons que cette correspondance entre force et enrichissement se traduit par un 2-isomorphisme de 2-catégories. Sous certaines conditions sur la monade T, nous montrons que la catégorie homotopique des T-algèbre est équivalente au sens de Quillen à la catégorie homotopique des modules sur le monoïde d'endomorphismes de la T-algèbre T (I) librement engendré par l'unité I de E . Dans le cas particulier où E est la catégorie des Γ-espaces de Segal munie de la structure de modèle stable de Bousfi eld-Friedlander et T est la monade forte associée à une Γ-théorie bien pointée, nous retrouvons un théorème de Stefan Schwede, comme corollaire du théorème homotopique de Morita.

Mots clés: Morita equivalence; Strong monad; Enriched monad; Model category; Stable homotopy theory; Gamma spaces

Mots clés: Equivalence de Morita; Monade forte; Monade enrichie; Catégorie de modèles; Homotopie stable; Gamma espaces

Domaines: Catégories et ensembles [math.CT]; Topologie algébrique [math.AT]

Kruna Segrt Ratkovic. Morita theory in enriched context. Category Theory [math.CT]. Université Nice Sophia Antipolis, 2012. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00785301⟩