Analysis and numerical approximation of hyperbolic systems of conservation laws with source terms. Application to the Euler equations and to a simplified model of two-phase flows
Analyse et approximation numérique de systèmes hyperboliques de lois de conservation avec termes sources. Application aux équations d'Euler et à un modèle simplifié d'écoulements diphasiques.
Résumé
This thesis is devoted to the study of nonlinear hyperbolic systems of conservation laws with source terms allowed to become stiff. Applications come for the largest part from physical problems; for example B¨urgers or Buckley-Leverett equations and Euler-type systems endowed with pressure laws for a perfect gas or a simplified two-phase mixture. The first part deals with theoretical aspects of this subject. We focus on the one-dimensional case and consider the scalar equation and a special case of a reactive two-phase flow system. The main issue one has to manage with when establishing the strong convergence of a sequence of approximations by means of the compensated compactness theory in such cases is to find invariant regions in the phases space. For the scalar problem, it is sufficient that the source term preserves an uniform bound on the L∞ norm of the sequence. But it is less obvious for a system since invariant zones are rather complicated and may be perturbed due to the form of some forcing terms. The second part is concerned with stability criterions for numerical schemes involving sophisticated implicit time quadrature formulas. We first present an analysis of a half-discretization (method of lines) and derive sufficient conditions for the differential system to be well-posed. This brings quite natural restrictions to ensure the stability of a one-step implicit scheme: the time-step must be small in highly compressive regimes and near repulsive points of the source term. A total-variation analysis is then carried out to derive second order schemes free from oscillations around shocks for the largest possible time-steps. Numerical experiments are shown on fully nonlinear scalar problems. The third part is a direct sequel in order to fix some of the difficulties encountered before. The main objective is to build a new discretization which may handle an arbitrary stiff right hand-side without any influence (except the usual CFL condition) on the time-step. Following the ideas of J. Greenberg and A.-Y. LeRoux, we first derive a Godunov-type scalar scheme and get a convergence result with the help of BV estimates towards the entropy solution. Since the main feature is to handle the sources as non-conservative products, we decide to use the formalism proposed by G. DalMaso, P.G. LeFloch and F. Murat to extend these ideas to inhomogeneous systems. Following I. Toumi, we introduce Roe-type matrices along regularizing paths to obtain approximations showing nice properties. In fact, this is what is called well-balanced schemes, i.e. schemes which preserve theoretical first integrals of the motion. Numerical tests are based on the Euler system with geometrical source terms. The fourth (and last) part concerns the introduction of this non-conservative formulation in a flux-splitting type scheme. The aim is to build a very robust, well-balanced and easy-to-implement scheme. The generalized jump relations coming from the sources are detailed and the scheme is tested in a very wide range of problems: nozzle flows, two-phase with chemistry and damping, relaxation systems ... A chapter is also devoted to resonant cases: following Majda, we investigate the stationnary problem to validate our results. This work culminates with two-dimensional two-phase flow approximations which envolve rather complicated non-conservative relations treated by a convergent iterative process.
Cette thèse est consacrée à l'étude des systèmes non linéaires hyperboliques de lois de conservation avec des termes sources autorisées à devenir raides. Les applications viennent pour la plupart de problèmes physiques, par exemple l'equation de Burgers ou de Buckley-Leverett et le système d'Euler muni de lois de pression pour un gaz parfait ou une version simplifiée de mélange à deux phases. La première partie traite des aspects théoriques de ce sujet. Nous nous concentrons sur le cas unidimensionnel et considérons l'équation scalaire et d'un cas particulier d'un système d'écoulement diphasique réactif. La question principale à gérer lorsqu'on établit la convergence forte d'une suite d'approximations au moyen de la théorie de compacité par compensation dans de tels cas est de trouver des régions invariantes dans l'espace des phases. Pour le problème scalaire, il suffit que le terme source conserve une borne uniforme sur la norme L ∞ de la séquence. Mais c'est moins évident pour un système car les zones invariantes sont plutôt compliquées et peuvent être perturbées en raison de la forme de certains termes de forçage. La deuxième partie s'intéresse aux critères de stabilité pour les schémas numériques implicites impliquant des quadratures en temps sophistiquées. Nous présentons d'abord l'analyse d'une semi-discrétisation (méthode des lignes) afin d'en tirer des conditions suffisantes pour le système différentiel d'être bien posé. Cela amène des restrictions assez naturelles pour assurer la stabilité d'une méthode à une seule étape implicite: le pas de temps doit être petit près des points de compression et de répulsion du terme source. Une analyse de variation totale est ensuite réalisée pour dériver les régimes du second ordre sans oscillations autour de chocs pour le plus grand pas de temps possible. Des expériences numériques sont présentés sur des problèmes scalaires non linéaires. La troisième partie est une suite directe afin de corriger certaines des difficultés rencontrées auparavant. L'objectif principal est de construire une nouvelle discrétisation qui peut gérer un terme source arbitrairement raide sans aucune influence (sauf la condition habituelle CFL) sur le pas de temps. Suivant les idées de J. Greenberg et A.-Y. LeRoux, nous calculons d'abord un schéma de Godunov scalaire afin d'obtenir un résultat de convergence vers la solution entropique à l'aide des estimations BV. Comme la caractéristique principale est de gérer les sources au moyen des produits non-conservatifs, nous décidons d'utiliser le formalisme proposé par G. Dalmaso, PG LeFloch et F. Murat pour étendre ces idées à des systèmes non-homogènes. Suivant I. Toumi, nous introduisons des matrices de type Roe le long des chemins régularisants afin d'obtenir des approximations qui montrent des propriétés intéressantes. En fait, c'est ce que l'on appelle les régimes bien équilibrés, à savoir les régimes qui préservent les intégrales premières théoriques du mouvement. Des tests numériques sont basés sur le système d'Euler avec termes sources géométriques. Le quatrième (et dernière) partie concerne la mise en place de cette formulation non-conservative dans un schéma de type flux-splitting. L'objectif est de construire une méthode très robuste, bien équilibrée et facile à mettre en oeuvre. Les relations de saut généralisées provenant des sources sont détaillées et le système est testé dans un très large éventail de problèmes: les flux de tuyères, diphasique avec chimie et amortissement, les systèmes de relaxation ... Un chapitre est également consacré à des cas de résonance: en suivant Majda, nous étudions le problème stationnaire pour valider nos résultats. Ce travail conclut avec un écoulement diphasique en deux dimensions qui évolue de manière assez compliquée, les relations non conservatives étant traitées par un processus itératif convergent.
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