Monodromy of non-selfadjoint operators
Monodromie d'opérateurs non auto-adjoints
Résumé
We propose to build in this thesis a combinatorial invariant, called the "spectral monodromy" from the spectrum of a single (non-selfadjoint) h-pseudodifferential operator with two degrees of freedom in the semi-classical limit. Our inspiration comes from the quantum monodromy defined for the joint spectrum of an integrable system of n commuting selfadjoint h-pseudodifferential operators, given by S. Vu Ngoc. The first simple case that we treat in this work is a normal operator. In this case, the discrete spectrum can be identified with the joint spectrum of an integrable quantum system. The second more complex case we propose is a small perturbation of a selfadjoint operator with a classical integrability property. We show that the discrete spectrum (in a small band around the real axis) also has a combinatorial monodromy. The difficulty here is that we do not know the description of the spectrum everywhere, but only in a Cantor type set. In addition, we also show that the monodromy can be identified with the classical monodromy (which is defined by J. Duistermaat). These are the main results of this thesis.
Nous proposons de construire dans cette thèse un invariant combinatoire, appelée la "monodromie spectrale" à partir du spectre d'un seul opérateur h-pseudo-différentiel (non auto-adjoint) à deux degrés de liberté dans la limite semi-classique. Notre inspiration est issue de la monodromie quantique qui est définie pour le spectre conjoint d'un système intégrable de n opérateurs h-pseudo-différentiels auto-adjoints qui commutent, donnée par S. Vu Ngoc. Le premier cas simple traité dans ce travail est celui d'un opérateur normal. Dans ce cas, son spectre discret peut être identifié au spectre conjoint d'un système quantique intégrable. Le deuxième cas plus complexe que nous proposons est une petite perturbation d'un opérateur auto-adjoint en supposant une propriété d'intégrabilité classique. Nous montrons que son spectre discret (dans une petite bande autour de l'axe réel) possède également une monodromie combinatoire. La difficulté ici est qu'on ne connaît pas la description du spectre partout, mais seulement dans un ensemble de type Cantor. De plus, nous montrons aussi que cette monodromie peut être identifiée à la monodromie classique (qui est définie par J. Duistermaat). Ce sont les résultats principaux de cette thèse.
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