Study and implementation of a domain decomposition method for the modelisation of flow in 3D fracture networks
Étude et mise en œuvre d'une méthode de sous-domaines pour la modélisation de l'écoulement dans des réseaux de fractures en 3D
Résumé
The major part of freshwater comes from sub-surface resources. Our work fits in a process to protect this vital resource, based on modelisation and numerical simulation. In conjunction with field studies, numerical simulations have to be used, due to the geological uncertainties. These uncertainties lead to stochastic modelisation. We concentrate on flow in fracture networks, randomly generated. To be able to solve those flow by a mixed hybrid finite elements method, we develop a meshing algorithm for the fractures. Then we are able to construct the linear systems, whatever the network randomly generated geometry. Then we compare three linear solvers : a direct solver, an algebraic multigrid and a Preconditioned Conjugate Gradient. This study leads us to propose a more efficient method, better suited to our problem solving. We study a domain decomposition method, which takes advantages from both the direct method and the Preconditioned Conjugate Gradient. This Schur method reduces the global problem to an interface problem, with a natural domain decomposition based on fractures or fracture packs. We propose an original approach for optimizing the algorithm and a global preconditioning of deflation type. Our implementation is efficient, since it succeeds to solve all the systems tested and is, in most cases, faster than the other linear solvers.
Les ressources souterraines fournissent une part importante de l'eau douce de notre planète. Notre travail s'inscrit dans une démarche de protection de cette ressource vitale par la modélisation et la simulation numérique. Couplée aux études de terrains, la simulation numérique est en effet un outil indispensable, du fait de l'incertitude sur le milieu géologique. Cette incertitude conduit à une approche stochastique. Nous nous sommes concentrés sur les écoulements dans les réseaux de fractures générés aléatoirement. Pour permettre la résolution de ces écoulements par une méthode d'éléments finis mixte hybride, nous avons élaboré un algorithme de maillage spécifique aux fractures. Cette technique permet de construire le système linéaire quelle que soit la géométrie du réseau généré. Nous avons ensuite effectué une étude comparative de trois solveurs linéaires : un solveur direct, un multigrille algébrique et un Gradient Conjugué Préconditionné. Cette étude nous a conduit à proposer une méthode de résolution plus efficace pour ce problème. Nous avons alors étudié une méthode de décomposition de domaine de type Schur, qui permet d'allier les avantages du solveur direct et du Gradient Conjugué Préconditionné. Cette méthode consiste à réduire le problème à un problème aux interfaces, par une définition naturelle des fractures, ou paquets de fractures, comme sous-domaines. Nous avons proposé une approche originale d'optimisation de l'algorithme et un préconditionnement global de type déflation. Notre implémentation de cette méthode est compétitive. Elle permet de résoudre tous les cas tests étudiés et elle est plus rapide, dans la majorité des cas, que les trois autres solveurs.