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Fiche détaillée Thèses
Université Nice Sophia Antipolis (15/02/2012), Juliette Leblond (Dir.)
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Approximation et représentation des fonctions sur la sphère. Applications à la géodésie et à l'imagerie médicale.
Ana-Maria Nicu1

Cette thèse est construite autour de l'approximation et la représentation des fonctions sur la sphère avec des applications pour des problèmes inverses issues de la géodésie et de l'imagerie médicale. Le plan de la thèse est structuré de la façon suivante. Dans le premier chapitre, on donne le cadre général d'un problème inverse ainsi que la description du problème de la géophysique et de la M/EEG. L'idée d'un problème inverse est de retrouver une densité à l'intérieur d'un domaine (la boule unité modélisant la terre ou le cerveau humain), à partir des données des mesures d'un certain potentiel à la surface du domaine. On continue par donner les principales définitions et théorèmes qu'on utilisera tout au long de la thèse. De plus, la résolution du problème inverse consiste dans la résolution de deux problèmes : transmission de données et localisation de sources à l'intérieur de la boule. En pratique, les données mesurées sont disponibles que sur des parties de la sphère : calottes sphériques, hémisphère nord de la tête (M/EEG), continents (géodésie). Pour représenter ce type de données, on construit la base de Slepian qui a des bonnes propriétés sur les régions étudiées. Dans le Chapitre 4 on s'intéresse au problème d'estimation de données sur la sphère entière (leur développement sous la base des harmoniques sphériques) à partir des mesures partielles bruitées. Une fois qu'on connait ce développement, on applique la méthode du meilleur approximant rationnel sur des sections planes de la sphère (Chapitre 5). Ce chapitre traite trois types de densité : monopolaire, dipolaire et inclusions pour la modélisation des problèmes, ainsi que des propriétés de la densité et du potentiel associé, quantités mises en relation par un certain opérateur. Dans le Chapitre 6 on regarde les Chapitres 3, 4 et 5 du point de vue numérique. On présente des tests numériques pour la localisation de sources dans la géodésie et la M/EEG lorsqu'on dispose des données partielles sur la sphère.
1 :  INRIA Sophia Antipolis - APICS
problemes inverses – base de Slepian – quadrature de Gauss

Approximation and representation of functions on the sphere. Applications to inverse problems in geodesy and medical imaging.
This work concerns the representation and approximation of functions on a sphere with applications to source localization inverse problems in geodesy and medical imaging. The thesis is structured in 6 chapters as follows. Chapter 1 presents an introduction to the geodesy and M/EEG inverse problems. The inverse pro- blem (IP) consists in recovering a density inside the ball (Earth, human brain) from partially known data on the surface. Chapter 2 gives the ma- thematical background used along the thesis. The resolution of the inverse problem (IP) involves the resolution of two steps : the transmission data pro- blem (TP) and the density recovery (DR) problem. In practice, the data are only available on some region of the sphere, as a spherical cap, like the north hemisphere of the head (M/EEG) or continent(geodesy). For this purpose, in Chapter 3, we give an ecient method to build the appropriate Slepian basis on which we express the data. This is set up by using Gauss-Legendre qua- drature. The transmission data problem (Chapter 4) consists in estimating the data (spherical harmonic expansion) over the whole sphere from noisy measurements expressed in Slepian basis. The second step, density recovery (DR) problem, is detailed in Chapter 5 where we study three density models (monopolar, dipolar and inclusions). For the resolution of (DR), we use a best quadratic rational approximation method on planar sections. We give also some properties of the density and the operator which links it to the generated potential. In Chapter 6, we study the Chapters 3, 4 ans 5 from numerical point of view. We present some numerical tests to illustrate source localization results for geodesy and M/EEG problems when we dispose of partial data on the sphere.
inverse problems – Slepian basis – Gauss quadrature

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