Dynamical reflection algebra and associated boundary integrable models.
Algèbre de réflexion dynamique et modèles intégrables associées.
Résumé
This thesis is embedded in the general theory of quantum integrable models with boundaries, and the development of associated algebraic structures. We first consider the question of the diagonalization of the XXZ hamiltonian with nondiagonal boundaries. We succeed to find the two sets of eigenstates and eigenvalues of the model if the boundaries parameters satisfy two conditions. We introduce then a statistical physics model which we refer to be the face model with a reflecting end. Moreover, we compute exactly its partition function and show that it takes the form of a simple single matrix determinant. We show that these two problems are related through the vertex-face transformation and are solved using a common algebraic structure, the dynamical reflection algebra and its dual. We focus from a mathematical perspective on this algebra in the general elliptic case. Both the co-module evaluation representation and its dual are introduced. We believe that these structures are the key ingredients for the analysis of face models with boundaries. In particular, using the concept of Drinfel'd twists, we show that the partition function of these models has a simple representation in the general case. Finally, we attempt on a 'dynamization' of the Half-Turn-Symmetric vertexmodel. We describe its partition function in terms of the evaluation representation of the dynamical Yang-Baxter algebra, and find a set of conditions that uniquely determine it.
Cette thèse s'inscrit dans le cadre général de la théorie des systèmes intégrables avec bords et le développement des structures algébriques associées. D'une part, nous nous attaquons au problème de la diagonalisation de l'hamiltonien du modèle XXZ avec bords non diagonaux. Nous exhibons les deux ensembles d'états propres et valeurs propres du modèle si les paramètres de bords satisfont deux conditions. D'autre part, nous introduisons un modèle de physique statistique que nous appelons le modèle face avec un bord réfléchissant. Nous calculons exactement sa fonction de partition et nous montrons que cette dernière se représente simplement sous la forme d'un unique déterminant matriciel. Nous montrons que ces deux problèmes sont reliés par la transformation vertex-face et exhibent une structure algébrique commune, l'algèbre de réflexion dynamique. Nous nous intéressons aux aspects mathématiques de cette algèbre dans le cas elliptique général, et nous introduisons deux classes de ces représentations, la représentation de co-module d'évaluation et sa duale. Nous pensons que cette algèbre est la structure clef pour l'analyse des modèles faces avec bords. En particulier, nous montrons à l'aide de twists de Drinfel'd que leur fonction de partition se représente simplement dans le cas général.
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