Some stability and bifurcation issues for viscous solids
Quelques problèmes de stabilité et de bifurcation des solides visqueux
Abstract
This PhD thesis is composed essentially of two main parts, of unequal sizes, which are summarized as follows: Part I: It is concerned with stability and bifurcation issues relating to strain-rate-independent solids and structures (i.e., elastic or elasto-plastic). A thorough and comprehensive review of the various investigations in this field allowed us to propose an original and compact presentation of the theory of stability and bifurcation. An illustration of this theory is then shown through an industrial collaboration with SNECMA. More specifically, numerical simulations of blade forming (for new aircraft engines) are carried out along with the analysis of the associated critical buckling states. These investigations reveal clearly that the material rate sensitivity needs to be taken into account, which motivates the second part of this work. Part II: This part contains the main contributions of the thesis. It deals with stability issues of strain-rate-dependent solids and structures (e.g., visco-elastic or elasto-viscoplastic). The objective of this study is twofold: First, theoretical modeling of the stability of viscous solids is proposed. In this approach, the stability issue of the quasi-static evolution of the structure under consideration is addressed. Indeed, the absence of equilibrium states for such viscous solids naturally suggests considering the stability of their quasi-static evolutions. The strain-rate dependency of these quasi-static evolutions is another source of difficulty in such an analysis. This new approach of stability, which considers the non-stationary response, generalizes the more classical concept of equilibrium stability. On the other hand, stability criteria for these quasi-static evolutions are investigated in close relation with the mathematical results related to non-autonomous differential equations. Note that the non-autonomous nature of the governing equations represents here the main difficulty. Sufficient conditions of stability are then derived using two main methods. In the first approach, the linearization technique is used or a Lyapunov functional, appropriate to the physics of the problem, is constructed. The second approach is more elaborate, but it can be applied to both elasto-plastic and elasto-viscoplastic solids and structures. Finally, to illustrate this methodology and to demonstrate the range of applicability of the resulting criteria, the proposed approach is applied to structural problems (beams, columns ...), corresponding to various elasto-plastic, elasto-viscoplastic or visco-elastic behavior models.
Ces travaux de thèse sont composés principalement de deux grandes parties de volumes inégaux dont voici le résumé des contenus : Partie I : Elle concerne les problèmes de stabilité et de bifurcation rencontrés dans les matériaux indépendants du temps physique (i.e., élastiques ou élasto-plastiques). Une analyse approfondie et détaillée des différentes études dans ce domaine nous permet de faire une présentation originale et synthétique de la théorie de la stabilité et de la bifurcation. Une illustration de cette théorie est ensuite donnée à travers une collaboration industrielle avec la SNECMA. On y effectue des simulations numériques du formage des aubes de réacteurs d'avions accompagnées d'analyses des états critiques de flambage. Les conclusions de ces simulations montrent clairement la nécessité de tenir compte du comportement visqueux du matériau et motivent ainsi la seconde partie de la thèse. Partie II : La deuxième partie des travaux de thèse est la plus importante quant au volume et au fond. Elle concerne les problèmes de stabilité des matériaux dépendant du temps physique (i.e., visco-élastiques ou visco-plastiques). L'objectif de cette étude est double : D'une part, une modélisation théorique du problème de stabilité des solides visqueux est proposée. Cette modélisation a pour but de poser le problème étudié comme un problème de stabilité de l'évolution quasi statique du solide visqueux considéré. En effet, l'absence d'équilibres pour de telles structures visqueuses nous amène naturellement à étudier la stabilité de leurs évolutions quasi statiques. Ces dernières dépendent bien entendu de la vitesse du chargement, ce qui constitue une source de difficultés dans une telle analyse. Cette façon de poser le problème en termes de stabilité de trajectoires est, à notre connaissance, originale et généralise la notion plus classique de la stabilité d'un équilibre. Elle consiste, en quelque sorte, à mesurer la sensibilité des mouvements aux perturbations extérieures. D'autre part, la recherche de critères assurant la stabilité de l'évolution visqueuse est menée en étroite liaison avec les résultats mathématiques relatifs aux équations différentielles non autonomes. Il est mis en évidence, notamment, que la principale difficulté dans cette analyse vient du caractère non autonome des équations différentielles régissant l'évolution quasi statique visqueuse. Les conditions suffisantes de stabilité auxquelles on aboutit sont obtenues principalement par deux méthodes. La première consiste à construire des fonctionnelles de Lyapunov adéquates à la physique du problème ou à utiliser la méthode de linéarisation autour de la réponse quasi statique. L'autre démarche est plus directe et permet d'établir le critère de stabilité de l'évolution par des considérations de continuité de la réponse par rapport aux données initiales. Cette deuxième démarche a l'avantage de s'appliquer aussi bien aux évolutions visco-plastiques qu'aux évolutions élasto-plastiques. Enfin, l'application de ces différents résultats aux modèles de tiges de Shanley et pour le cas des poutres permet d'illustrer notre méthodologie sur des exemples concrets et de comprendre la portée des critères de stabilité ainsi obtenus.