Propagation des ondes : approches espace et ondelette
Résumé
In seismology, numerical wave propagation modelling is an essential tool to e.g quantify local seismic risk or to invert multi-source seismic data. Realistic phenomcna are accounted for when three-dimensional (3D) models with complex heterogeneous structures are similated using sophisticated techniques on irregular grids. ln this thesis, I investigate frequency domain finite difference (FDFD) modelling for efficient space discretization optimization algorithms in order to render 3D FDFD modelling feasible. I compare ,FDFD acoustic wave simulations in heterogeneous media by a staggered cross stencil analysis with a grid rotation approach. For two-dimensional (2D) modelling, grid rotation is superior in terms of CPU-time and memory requirements. Therefore, I propose that space discretization by grid rotation shall be investigated for 2D time domain FD modelling. Moreover, 3D discretizations lead to 27-points rotation star, and 19-points staggered cross stencils. I suggest that both shall be examined with respect to numerical accuracy and computer ressources requirements. I propose a multi-level direct and iterative solver combination for realistic 3D FDFD wave simulations. Exact coarse-grid wave solutions are computed by a direct LU matrix factorization. The coarse-grid solution is prolongated on a fine-resolution grid and subsequently used as preconditioner for an iterative solver scheme. I investigate two multi-level approaches based on nested iteration, denoted by Direct-Iterative-Space Solver(DlSS), and a multi-scale wavelet expansion, called Direct-Iterative- Wavelet- Solver (DIWS). DISS and DIWS wave simulations in 2D and 3D heterogeneous media are compared with respect to their CPU-time and memory performance. The DISS approach provides fast and efficient matrix construction algorithms. The convergence of the iterative scheme is strongly dependent on efficient suppression of phaseshift artefacts caused by bilinear interpolation. Either large numbers of iteration steps or V- and W-cycles need to be performed to provide dispersion-free wave simulations. Wavelet-based DIWS preconditioning leads to optimal iterative behaviour at the cost of wavelet projections. Matrix constructions become expensive due to convolution-type computations. Furthermore, non-zero DIWS matrix entries increase and therefore slow down matrix-vector product performances. Nevertheless, the multi-scale wavelet formulation gives fast and stable iterative constructions simultaneously on a series of approximation grids of decreasing resolution, where difficult grid interactions are accounted for naturally. Therefore, DIWS-preconditioning is superior. Moreover, wavelet formulations provide adaptive optimization strategies for efficient implementation schemes. Wave simulation examples are illustrated for several homogeneous and heterogeneous 2D and 3D rnodels. The 3D applications are limited in size by restrictions to sequential computations. Extensions to parallel algorithms on distributed memory computer structures are discussed.
Dans le domaine de la sismologie, la modélisation numérique de la propagation des ondes est un outil essentiel pour, par exemple, la quantification du risque sismique ou l'imagerie du sous-sol par inversion de données sismiques. Ces applications géophysiques nécessitent le développement de méthodes numériques sophistiquées de modélisation des ondes dans des milieux de propagation 3D hétérogènes. Parmi les approches possibles,les méthodes directes fondées sur la représentation du milieu sur des grilles numériques permettent la prise en compte de toute la complexité du champ d'onde dans des milieux fortement hétérogènes. Dans ce contexte, la représentation optimale du milieu de propagation et du champ d'onde propagé sur des grilles numériques irrégulières est actuellement. un axe de recherche fortement développé car elle permet d'atteindre le meilleur compromis entre la précision et la rapidité d'exécution des simulations dans des grilles numériques de taille considérable. Dans cette thèse, je propose une nouvelle méthode de modélisation de la propagation des ondes acoustiques par différences finies dans le domaine des fréquences . Le problème numérique associé est la résolution d'un système matriciel. L'approche développée propose une discrétisation spatiale optimisée de l'équation d'onde rendant possible des modélisations en 3D. Premièrement, je compare des modélisations acoustiques en milieu hétérogène calculées avec des schémas aux différences finies en quinconce et. des schémas optimisés, discrétisés suivant deux systèmes d'axe tournés de 45 degrés (schémas tournés). Pour des modélisations 2D, la seconde approche montre des performances supérieures en terme de temps calcul et de stockage mémoire. J 'en conclus que la discrétisation suivant des grilles tournées doit être utilisée pour des simulations 2D. Dans le cas 3D, les schémas utilisant les deux types de discrétisation contiennent 19 coefficients dans le cas des grilles en quinconce et 27 coefficients dans le cas des schémas tournés. Je suggère que les performances, en termes de précision numérique et de stockage mémoire, des deux types de discrétisation doivent être examinées dans le futur. Deuxièmement, je propose une approche mixte multi-échelles combinant une méthode directe et itérative de résolution du système matriciel qui permet d'effectuer des modélisations réalistes dans des milieux 3D. Dans un premier temps, le champ d'onde exact est calculée via la factorisation LU de la matrice sur une grille de résolution grossière. Deuxièmement, ce champ d'onde approché est interpolé sur une grille numérique de résolution fine pour être injecté comme estimé initial dans l'algorithme de résolution itérative. J 'ai exploré deux approches multi-échelles fondées respectivement sur une" nested iteration ", appellée méthode "Direct-Iterative-Space Solver" (DISS), et une décomposition multigrilles en ondelettes, appellée méthode" Direct-lterative- Wavelet Solver" (DIWS) . Les performances respectives, en termes de temps-CPU et de stockage mémoire, de ces deux méthodes de modélisation des ondes en milieu 2D et 3D sont comparées. L'algorithme de la méthode DISS permet la construction rapide du système matriciel. La convergence de l'algorithme itératif dépend fortement de sa capacité à éliminer des artefacts numériques associés à des phénomènes déphasage. L'importance de ces artefacts dépend fortement de la précision de la solution initiale et de la discrétisation numérique du champ modélisé dans l'algorithme itératif. Un nombre important d'itérations ou l'utilisation de cycles en V et W sont nécessaires pour supprimer ces phénomènes. Dans la méthode DIWS, une représentation multirésolution du système matriciel est développée par projection sur une base d'ondelettes. Malgré le coût induit pour transformer le système dans le domaine spectral, la représentation multirésolution a fourni un outil numérique de préconditonnement permettant de stabiliser et d'accélérer significativement l'algorithme itératif. L'accélération de la convergence est attribuée à la représentation du système sur plusieurs grilles numériques de résolution différente dont les interactions sont prises en compte au cours des itérations. Par ailleurs, la formulation en ondelettes ouvre des perspectives d'optimisation sous forme d'adaptation spatial du maillage en fonction des propriétés locales du milieu et du champ propagé. Plusieurs exemples de simulation d'ondes dans des milieux 2D et 3D de complexité variable sont présentés pour illustrer les performances respectives des méthodes DISS et DIWS. La taille des applications 3D présentées a été limitée par l'utilisation de programmes séquentiels. Finalement, des stratégies de parallélisation en mémoire distribuéedes codes sont proposées.