Arbres, Processus de branchement non markoviens et Processus de Lévy
Résumé
In this dissertation, we focus on three developments of splitting trees introduced by Geiger & Kersting (1997), and on Crump-Mode-Jagers (CMJ) branching processes associated with them. These random trees model a population where all individuals have i.i.d. lifelengths and during their lives, they give birth at constant rate b to copies of themselves. The process counting the number of extant individuals through time is a binary and homogeneous CMJ process, that can be seen as a generalization of the Markovian birth and death process in which lifetimes are exponentially distributed. First, we consider a mainland-island model, which generalizes that of Karlin and McGregor and in which individuals carrying types immigrate at rate T to an island and start families that evolve independently and according to the previously described mechanism. Various assumptions are made about how types are chosen (either each new immigrant is of a different type, or it is of type i with probability pi, etc.) and we determine the asymptotic relative abundances of each type in the total population. In the "new immigrant = new type" case, the limiting distribution follows a GEM distribution with parameter T/b and we note that it only depends on this ratio and not on the lifelength distribution. Second, we study another population model where mutations can occur at birth of individuals with a certain probability. We consider a model with infinitely many alleles, that is, each new mutant is of a type (or allele) never encountered before, and neutral because individuals all behave in the same way regardless of their types. We study the allelic partition of the population by looking at its frequency spectrum which describes the number of types of a given age and carried by a given number of individuals. Using random characteristics techniques, we obtain results about its asymptotic behavior. We also prove the distribution convergence of sizes of largest families and of ages of the oldest ones. In the last chapter, we focus on spectrally positive Lévy processes that do not drift to infinity and that we condition to stay positive in a new way. A process X starting from x > 0 is conditioned to reach arbitrarily large heights before hitting 0 where the term height has to be understood in the meaning of the height process of Duquesne & Le Gall (2002). The law of the conditioned process is defined with an h-transform via a martingale. When X has finite variation, the main argument is that X can be seen as the contour process of a splitting tree and thus to condition the Lévy process is equivalent to condition the tree to reach arbitrarily large generations. When X has infinite variation, the height process is defined via local times and the martingale is constructed from the exploration process defined by Duquesne and Le Gall.
Dans cette thèse, nous nous intéressons à trois développements des arbres de ramification("splitting trees") introduits par Geiger & Kersting (1997), et aux processus de branchement de Crump-Mode-Jagers (CMJ) qui y sont associés. Ces arbres aléatoires modélisent une population où tous les individus ont des durées de vie indépendantes et identiquement distribuées et qui donnent naissance à taux constant b durant leurs vies à des copies d'eux-mêmes. Le processus comptant le nombre d'individus vivants au cours du temps est un processus CMJ binaire et homogène qui peut être vu comme une généralisation du processus de vie et de mort markovien dans lequel les durées de vie sont exponentielles. Dans un premier chapitre, nous considérons un modèle île-continent, généralisant celui de Karlin et McGregor, et dans lequel des individus portant des types immigrent à taux T vers une île et y fondent des familles qui évoluent indépendamment et suivant le mécanisme décrit précédemment. Différentes hypothèses sont faites sur la façon dont les types sont choisis (soit chaque nouvel immigrant est d'un type différent des précédents, soit il est de type i avec une proba pi, etc.) et nous déterminons les proportions asymptotiques de chacun des types dans la population totale. Dans le cas "nouvel immigrant=nouveau type", la limite suit une distribution GEM de paramètre T/b et nous remarquons qu'elle ne dépend que de ce rapport et pas de loi de la durée de vie des individus. Dans un second temps, nous étudions un autre modèle de population dans des mutations pouvant se produire à la naissance des individus avec une certaine probabilité. Nous considérons un modèle dit à une infinité d'allèles, c'est-à-dire que chaque mutant est d'un type (ou allèle) jamais rencontré auparavant, et neutre car quels que soient leurs types, les individus évoluent tous de la même manière. Nous étudions la partition allélique de la population en considérant son spectre de fréquence qui décrit le nombre de types d'âge donné et portés par un nombre donné d'individus. Nous obtenons des résultats concernant son comportement asymptotique en utilisant les caractéristiques aléatoires de Jagers & Nerman. Nous donnons également la convergence en loi des abondances des plus grandes familles et des âges des plus vieilles familles. Dans le dernier chapitre, nous nous intéressons à des processus de Lévy spectralement positifs (ou sans sauts négatifs), ne dérivant pas vers l'infini et que l'on conditionne à rester positifs en un nouveau sens. Pour cela, un processus X partant de x > 0 est conditionné à atteindre des hauteurs arbitrairement grandes avant de toucher 0 où le terme hauteur est à comprendre au sens du processus des hauteurs de Duquesne & Le Gall (2002). La loi du processus conditionné est définie à l'aide d'une h-transformée via une martingale. Lorsque X est à variation finie, l'argument principal est que X peut être vu comme le processus de contour d'un arbre de ramification et ainsi conditionner le processus de Lévy revient à conditionner l'arbre à atteindre des générations arbitrairement grandes. Lorsque X est à variation infinie, le processus des hauteurs est défini à l'aide de temps locaux et la martingale est construite à partir du processus d'exploration de Duquesne et Le Gall, qui est un processus de Markov à valeurs mesures.
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