Hausdorff dimension of maximal-bifurcation loci in dynamics of rational maps
Dimension de Hausdorff de lieux de bifurcations maximales en dynamique des fractions rationnelles
Résumé
\par In the moduli space $\mathcal{M}_d$ of degree $d$ rational maps, the bifurcation locus is the support of a closed $(1,1)$ positive current $T_{\textup{bif}}$ called \emph{bifurcation current}. This current gives rise to a measure $\mu_{\textup{bif}}:=(T_{\textup{bif}})^{2d-2}$ whose support is the seat of strong bifurcations. Our main result says that ${\textup{supp}}(\mu_{\textup{bif}})$ has maximal Hausdorff dimension $2(2d-2)$. It follows that the set of degree $d$ rational maps having $2d-2$ distinct neutral cycles is dense in a set of full Hausdorff dimension. Note that previously, only the existence of such rational maps (Shishikura) was known. Let us mention that for our proof, we first establish that the $(2d-2)$-Misiurewicz rational maps belong to the support of $\mu_{\textup{bif}}$. \par The last chapter, which is independent of the rest of the thesis, deals with the space $\mathcal{M}_2$. We prove that, in this case, the current $T_{\textup{bif}}$ naturally extends to a $(1,1)$-closed positive current on $\p^2$ which we calculate the Lelong numbers. We also show that the support of $\mu_{\textup{bif}}$ is unbounded in $\mathcal{M}_2$.
Dans l'espace $\mathcal{M}_d$ des modules des fractions rationnelles de degré $d$, le lieu de bifurcation est le support d'un $(1,1)$-courant positif fermé $T_{\textup{bif}}$ appelé \emph{courant de bifurcation}. Ce courant induit une mesure $\mu_{\textup{bif}}=(T_{\textup{bif}})^{2d-2}$ dont le support est le siége de bifurcations maximales. Notre principal résultat est que le support de $\mu_{\textup{bif}}$ est de dimension de Hausdorff totale $2(2d-2)$. Il s'ensuit que l'ensemble des fractions rationnelles de degré $d$ possédant $2d-2$ cycles neutres distincts est dense dans un ensemble de dimension de Hausdorff totale. Remarquons que jusqu'alors, seule l'existence de telles fractions rationnelles (Shishikura) était connue. Mentionnons que pour notre démonstration, nous établissons au préalable que les fractions rationnelles $(2d-2)$-Misiurewicz appartiennent au support de $\mu_{\textup{bif}}$. \par Le dernier chapitre, indépendant du reste de la thése, traite de l'espace $\mathcal{M}_2$. Nous montrons que, dans ce cas, le courant $T_{\textup{bif}}$ se prolonge naturellement á $\p^2$ en un $(1,1)$-courant positif fermé dont nous calculons les nombres de Lelong. Nous montrons aussi que le support de la mesure $\mu_{\textup{bif}}$ est non-borné dans $\mathcal{M}_2$.
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