Planar algebras and maximal abelian subalgebras in von Neumann algebras

Algèbres planaires et sous-algèbres maximales abéliennes dans les algèbres de von Neumann

Arnaud Brothier (1)

1 KU Leuven - Catholic University of Leuven = Katholieke Universiteit Leuven

This thesis presents some results on planar algebras and maximal abelian subalgebras in von Neumann algebras. The first and second chapter consider a construction that associates a II1 factor to a subfactor planar algebra. In the first chapter, we define a class of planar algebras, called unshaded, that is well adapted to the theory of free probability. Furthermore, this class contains the class of subfactor planar algebras. We show that we can associate a von Neumann algebra to an unshaded planar algebra. The main result is that this von Neumann algebra is a II1 factor. In the second chapter, we consider a subfactor planar algebra and a II1 factor associate to it. There is a maximal abelian subalgebra that is generically associates to this planar algebra. The main result is that this subalgebra is maximal hyperfinite. In the third chapter, we consider an invariant for maximal abelian subalgebras due to Takesaki. The main result is to show that this invariant is coming from the action of the normalizer. In particular, we answer to a question of Takesaki by showing that a singular maximal abelian subaglebra is simple.

Cette thèse présente des résultats sur les algèbres planaires et les sous-algèbres maximales abéliennes dans des algèbres de von Neumann. Les deux premiers chapitres portent sur une construction qui, à une algèbre planaire d'un sous-facteur, associe un facteur II1. Dans le premier chapitre, on définit une classe d'algèbres planaires, qualifiées de non coloriées, qui est adaptée à la théorie des probabilités libres. De plus cette classe contient la classe des algèbres planaires d'un sous-facteur. On montre qu'à toute algèbre planaire non coloriée on peut associer une algèbre de von Neumann. Le résultat principal est que cette algèbre de von Neumann est un facteur II1. Dans le deuxième chapitre, on considère le facteur II1 construit à partir d'une algèbre planaire d'un sous-facteur. On considère une sous-algèbre maximale abélienne génériquement associée à l'algèbre planaire. Le résultat principal est que cette sous-algèbre maximale abélienne est maximale hyperfinie. Dans le troisième chapitre, on considère un invariant introduit par Takesaki pour des sous-algèbres maximales abéliennes. Le résultat principal est de montrer que cet invariant est obtenu par l'action du normalisateur. En particulier, on répond à une question de Takesaki en montrant que toute sous-algèbre maximale abélienne singulière est simple.

Mots clés: Operator algebras; von Neumann algebras; planar algebras; maximal abelian subalgebras; spectral theory; ergodic theory; Takesaki invariant.

Mots clés: Algèbres d'opérateurs; algèbres de von Neumann; algèbres planaires; sous-algèbres maximales abéliennes; invariant de Takesaki; théorie spectrale; théorie ergodique.

Domaines: Mathématiques [math]

Arnaud Brothier. Algèbres planaires et sous-algèbres maximales abéliennes dans les algèbres de von Neumann. Mathématiques [math]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2011. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00629033⟩