Some aspects of optimal quantization and applications to finance
Quelques aspects de la quantification optimale et applications à la finance
Abstract
This thesis is concerned with the study of optimal quantization and its applications. We deal with theoretical, algorithmic and numerical aspects. It is composed of five chapters. In the first section, we study the link between the stratification-based variance reduction and optimal quantization. In the case where the considered random variable is a Gaussian process, a simulation scheme with a linear cost is proposed for the conditional distribution of the process in a stratum. The second chapter is devoted to the numerical approximation of the Karhunen-Loève eigensystem of a Gaussian process with the so-called Nyström method. In the third section, we propose a new approach for the quantization of the solutions of SDE, whose convergence is investigated. These results lead to a new cubature scheme for the solutions of stochastic differential equations, which is developed in the fourth chapter, and which is tested with option pricing problems. In the last chapter, we present a new tree-based fast nearest neighbor search algorithm, based on the quantization of the empirical distribution of the considered data set.
Cette thèse est consacrée à l'étude de la quantification optimale et ses applications. Nous y abordons des aspects théoriques, algorithmiques et numériques. Elle comporte cinq chapitres. Dans la première partie, nous étudions liens entre la réduction de variance par stratification et la quantification optimale. Dans le cas ou la variable aléatoire considérée est un processus Gaussien, un schéma de simulation de complexité linéaire est développé pour la loi conditionnelle à une strate du processus en question. Le second chapitre est consacré à l'évaluation numérique de la base de Karhunen-Loève d'un processus Gaussien par la méthode de Nyström. Dans la troisième partie, nous proposons une nouvelle approche de la quantification de solutions d'EDS, dont nous étudions la convergence. Ces résultats conduisent à un nouveau schéma de cubature pour les solutions d'équations différentielles stochastiques, qui est développé dans le quatrième chapitre, et que nous éprouvons sur des problèmes de valorisation d'options. Dans le cinquième chapitre, nous présentons un nouvel algorithme de recherche rapide de plus proche voisin par arbre, basé sur la quantification de la loi empirique du nuage de points considéré.